Mi a sikeres eladók titka? Ha bármelyik cég legjobb értékesítőit figyeli, észre fogja venni, hogy van bennük egy közös dolog. Mindegyikük több emberrel találkozik és több előadást tart, mint a kevésbé sikeres értékesítők. Ezek az emberek megértik, hogy az értékesítés egy számjáték, és minél több embernek mesélnek termékeikről vagy szolgáltatásaikról, annál több üzletet kötnek, ez minden. Megértik, hogy ha nemcsak azokkal a kevesekkel kommunikálnak, akik határozottan igent mondanak rájuk, hanem azokkal is, akiknek nem olyan nagy az érdeklődése a javaslatuk iránt, akkor az átlagok törvénye a javukra válik.

Az Ön bevétele az eladások számától függ, ugyanakkor egyenesen arányos lesz az előadások számával. Amint megérted és elkezded a gyakorlatba ültetni az átlagok törvényét, az új vállalkozás elindításával vagy egy új területen való munkával kapcsolatos szorongás csökkenni fog. Ennek eredményeként nőni kezd a kontroll érzése és a kereseti képességükbe vetett bizalom. Ha csak prezentációkat tart, és közben fejleszti képességeit, akkor üzletek lesznek.

Ahelyett, hogy az ügyletek számára gondolna, gondoljon a prezentációk számára. Nincs értelme reggel felkelni, vagy este hazajönni és azon töprengeni, hogy ki fogja megvenni a termékét. Ehelyett a legjobb, ha minden nap megtervezi, hány hívást kell kezdeményeznie. És akkor, nem számít, mit hívjon! Ez a megközelítés megkönnyíti a munkáját – mert ez egy egyszerű és konkrét cél. Ha tudod, hogy egy nagyon konkrét és megvalósítható cél áll előtted, könnyebben megteheted a tervezett számú hívást. Ha a folyamat során többször is „igen”-t hall, annál jobb!

Ha pedig "nem", akkor este úgy érzed, hogy őszintén megtettél mindent, amit lehetett, és nem fognak azon gondolatok gyötörni, hogy mennyi pénzt kerestél, vagy hány partnert szereztél egy nap alatt.

Tegyük fel, hogy az Ön cégében vagy vállalkozásában az átlagos értékesítő négy prezentációnként egy üzletet köt. Most képzeld el, hogy kártyákat húzol egy pakliból. Minden három színből álló kártya – ásó, gyémánt és ütő – egy prezentáció, ahol professzionálisan mutat be egy terméket, szolgáltatást vagy lehetőséget. A legjobb tudásod szerint csinálod, de mégsem kötöd meg az üzletet. És minden szívkártya egy olyan üzlet, amely lehetővé teszi, hogy pénzt szerezzen vagy új társat szerezzen.

Ilyen helyzetben nem szeretnél minél több lapot húzni a pakliból? Tegyük fel, hogy felajánlják, hogy annyi kártyát húzzon, amennyit csak akar, miközben fizet, vagy új társat javasol minden alkalommal, amikor szívkártyát húz. Lelkesen kezdesz kártyákat húzni, alig veszed észre, milyen színű kártyát húztak ki.

Tudod, hogy egy ötvenkét lapból álló pakliban tizenhárom szív található. És két pakliban - huszonhat szívkártya és így tovább. Csalódni fog, ha ásót, gyémántot vagy ütőt rajzol? Természetesen nem! Csak azt gondolnád, hogy minden ilyen "kisasszony" közelebb visz - mihez? A szívek kártyájára!

De tudod mit? Ezt az ajánlatot már megkaptad. Egyedülálló helyzetben vagy, hogy annyit keress, amennyit csak akarsz, és annyi szívkártyát húzhatsz, amennyit csak szeretnél. És ha csak lelkiismeretesen "húzol kártyákat", fejleszted a képességeidet és elviselsz egy kis ásót, gyémántot és ütőt, akkor kiváló eladó leszel és sikeres leszel.

Az egyik dolog, ami annyira szórakoztatóvá teszi az eladást, hogy minden alkalommal, amikor megkevered a paklit, a kártyák másképp keverednek. Néha az összes szív a pakli elejére kerül, és egy sikeres sorozat után (amikor már úgy tűnik számunkra, hogy soha nem fogunk veszíteni!) egy hosszú sor eltérő színû lapra várunk. Egy másik alkalommal pedig, hogy eljuss az első szívhez, végtelen számú ásón, ütőn és tamburán kell keresztülmenned. És néha a különböző színű kártyák szigorúan sorra esnek ki. De mindenesetre minden ötvenkét lapból álló pakliban, bizonyos sorrendben, mindig tizenhárom szív található. Csak húzza ki a kártyákat, amíg meg nem találja őket.

Feladó: Leylya,  

Az átlagérték a statisztikák legáltalánosabb mutatója. Ez annak köszönhető, hogy felhasználható a populáció jellemzésére egy mennyiségileg változó tulajdonság szerint. Például nem lehet összehasonlítani két vállalkozás dolgozóinak bérét bér két konkrét munkavállaló, mivel ez változó mutatóként működik. A vállalkozásoknál kifizetett bérek teljes összegét sem lehet figyelembe venni, mivel az a foglalkoztatottak számától függ. Ha az egyes vállalkozások teljes bérét elosztjuk az alkalmazottak számával, összehasonlíthatjuk őket, és megállapíthatjuk, hogy melyik vállalkozásnál magasabb az átlagbér.

Vagyis a vizsgált munkavállalói sokaság bére általánosított jellemzőt kap az átlagértékben. Kifejezi azt az általánost és jellemzőt, ami a vizsgált tulajdonsággal kapcsolatban a dolgozók összességére jellemző. Ebben az értékben ennek az attribútumnak az általános mértékét mutatja, amely a sokaság egységeire vonatkozóan eltérő értékű.

Az átlagérték meghatározása. A statisztikák átlagértéke hasonló jelenségek halmazának általánosított jellemzője valamilyen mennyiségileg változó tulajdonság szerint. Az átlagos érték ennek a tulajdonságnak a szintjét mutatja a népességegységhez viszonyítva. Az átlagérték segítségével különböző jellemzők (egy főre jutó jövedelem, terméshozam, termelési költségek a különböző vállalkozásoknál) szerint lehet különböző aggregátumokat összehasonlítani egymással.

Az átlagérték mindig általánosítja annak a tulajdonságnak a mennyiségi változását, amellyel a vizsgált sokaságot jellemezzük, és amely a sokaság minden egységében egyformán benne van. Ez azt jelenti, hogy bármely átlagérték mögött mindig ott van a sokaság egységeinek valamilyen változó tulajdonság szerinti eloszlási sorozata, pl. variációs sorozat. Ebben a tekintetben az átlagérték alapvetően eltér a relatív értékekés különösen az intenzitás mutatóiról. Az intenzitásmutató két különböző aggregátum volumenének aránya (például az egy főre jutó GDP termelése), míg az átlagos az aggregátum elemeinek jellemzőit az egyik jellemző szerint általánosítja (például az átlag munkás bére).

Középérték és a nagy számok törvénye. Az átlagos mutatók változásában egy általános tendencia mutatkozik meg, amelynek hatására a jelenségek egészének fejlődési folyamata kialakul, míg az egyes egyedi esetekben ez a tendencia nem nyilvánul meg egyértelműen. Fontos, hogy az átlagok a tények tömeges általánosításán alapuljanak. Csak ilyen feltételek mellett mutatják meg a folyamat egészének alapjául szolgáló általános tendenciát.

A nagy számok törvényének lényege és jelentősége az átlagok szempontjából a megfigyelések számának növekedésével egyre teljesebben kioltja a véletlen okok által generált eltéréseket. Vagyis a nagy számok törvénye megteremti a feltételeket ahhoz, hogy egy változó tulajdonság tipikus szintje megjelenjen az átlagértékben meghatározott hely- és időviszonyok között. Ennek a szintnek az értékét ennek a jelenségnek a lényege határozza meg.

Átlagok típusai. A statisztikában használt átlagértékek a hatványtörvényes átlagok osztályába tartoznak, általános képlet amelynek a következő formája van:

ahol x a hatványátlag;

X - az attribútum értékeinek megváltoztatása (opciók)

- szám opció

Az átlag kitevője;

Összegzés jele.

Az átlag kitevőjének különböző értékeihez különböző típusú átlagokat kapunk:

Számtani átlaga;

Átlagos négyzet;

Átlagos köbméter;

Átlagos harmonikus;

Geometriai átlag.

Különböző fajták az átlagértékek eltérő értékekkel rendelkeznek, ha ugyanazt a statisztikai forrást használják. Ugyanakkor minél nagyobb az átlag kitevője, annál nagyobb az értéke.

A statisztikában a sokaság helyes jellemzését minden egyes esetben csak egy teljesen határozott típusú átlagérték adja. Az ilyen típusú átlagérték meghatározásához egy olyan kritériumot használnak, amely meghatározza az átlag tulajdonságait: az átlagérték csak akkor lesz a sokaság valódi általánosító jellemzője a változó attribútum szerint, amikor az összes változatot az átlaggal helyettesítjük. érték, a változó attribútum teljes mennyisége változatlan marad. Vagyis az átlag helyes típusát az határozza meg, hogy hogyan alakul ki a változó jellemző össztérfogata. Tehát a számtani átlagot akkor használjuk, ha a változó jellemző térfogata az egyes opciók összegeként, a középnégyzet - ha a változó jellemző térfogata négyzetek összegeként, a harmonikus átlag - az egyes opciók összegeként alakul ki. az egyes opciók reciprok értékei, a geometriai átlag - mint az egyes opciók szorzata. A statisztikák átlagértékei mellett

Egy változó jellemző eloszlásának leíró jellemzőit (strukturális átlagok), módus (a leggyakoribb változat) és medián (középső változat) használjuk.

8. előadás. 1. rész Valószínűségszámítás

Megfontolandó kérdések

1) A nagy számok törvénye.

2) Központi határérték tétel.

A nagy számok törvénye.

A nagy számok törvénye tág értelemben azt az általános elvet értjük, amely szerint nagyszámú valószínűségi változó esetén az átlageredményük megszűnik véletlenszerűnek lenni, és nagy biztonsággal megjósolható.

A szűk értelemben vett nagy számok törvénye számos matematikai tételt jelent, amelyek mindegyikében bizonyos feltételek mellett lehetőség nyílik nagyszámú teszt átlagos jellemzőinek közelítésére.

néhány határozott állandóhoz. Az ilyen tételek bizonyításakor a Markov- és Csebisev-egyenlőtlenségeket használják, amelyek szintén függetlenek.

1. tétel (Markov-egyenlőtlenség). Ha egy valószínűségi változó nem negatív értékeket vesz fel és van matematikai elvárása, akkor bármely pozitív számra az egyenlőtlenség

Bizonyíték diszkrét valószínűségi változóra hajtjuk végre. Feltételezzük, hogy olyan értékeket vesz fel, amelyekből az első kisebb vagy egyenlő, és az összes többi nagyobb, mint akkor

ahol

1. példa A gyári kapcsolóba érkező hívások átlagos száma egy óra alatt 300. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy a következő órában a kapcsolóra érkező hívások száma:

1) meghaladja a 400-at;

2) nem lesz több 500-nál.

Megoldás. 1) Legyen a valószínűségi változó az egy óra alatt a kapcsolóba érkező hívások száma. Az átlagérték . Tehát értékelnünk kell. A Markov-egyenlőtlenség szerint

2) Így annak a valószínűsége, hogy a hívások száma nem haladja meg az 500-at, legalább 0,4.

2. példa A bankfiókban lévő összes betét összege 2 millió rubel, és 0,6 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen felvett betét nem haladja meg a 10 ezer rubelt. Mit lehet mondani a közreműködők számáról?

Megoldás. Legyen egy véletlenszerűen vett érték egy véletlenszerűen vett hozzájárulás mérete és az összes hozzájárulás száma. Aztán (ezer). Markov egyenlőtlensége szerint honnan

3. példa Legyen az az idő, amikor egy hallgató késik egy előadásról, és köztudott, hogy átlagosan 1 percet késik. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy a tanuló legalább 5 percet késik.

Megoldás. Feltételezve, hogy a Markov-egyenlőtlenséget alkalmazzuk, azt kapjuk

Így minden 5 tanulóból legfeljebb 1 tanuló késik legalább 5 percet.

2. tétel (Csebisev-egyenlőtlenség). .

Bizonyíték. Adjon meg egy X valószínűségi változót eloszlások sorozata

A diszperzió definíciója szerint vegyük ki ebből az összegből azokat a kifejezéseket, amelyekre . Ugyanakkor, mivel minden tag nem negatív, az összeg csak csökkenhet. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy az első k feltételeket. Akkor

Ennélfogva, .

A Csebisev-egyenlőtlenség lehetővé teszi, hogy felülről megbecsüljük annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó eltér a matematikai elvárásától, pusztán a varianciájára vonatkozó információk alapján. Széles körben használják például a becslés elméletében.

4. példa Egy érmét 10 000-szer dobnak fel. Becsülje meg annak a valószínűségét, hogy a címer gyakorisága eltér 0,01-től vagy ennél nagyobb értéktől.

Megoldás. Vezessünk be független valószínűségi változókat , ahol egy valószínűségi változó az eloszlási sorozattal

Akkor mivel a binomiális törvény szerint oszlik meg -val A címer megjelenési gyakorisága egy véletlen változó, ahol . Ezért a címer megjelenési gyakoriságának szórása a Csebisev-egyenlőtlenség szerint .

Így átlagosan 10 000 érmefeldobásnál legfeljebb az esetek negyedében tér el a címer gyakorisága egy századdal vagy annál nagyobb mértékben.

3. tétel (Csebisev). Ha független valószínűségi változók, amelyek varianciái egyenletesen korlátosak (), akkor

Bizonyíték. Mert

majd a Csebisev-egyenlőtlenséget alkalmazva azt kapjuk

Mivel egy esemény valószínűsége nem lehet nagyobb 1-nél, azt kapjuk, amit akarunk.

Következmény 1. Ha független valószínűségi változók egyenletesen korlátos szórással és azonos matematikai elvárással egyenlők A, Azt

Az (1) egyenlőség azt mondja, hogy az egyes független valószínűségi változók közös átlagértékétől való véletlenszerű eltérései, ha tömegük nagy, kioltják egymást. Ezért, bár maguk a mennyiségek véletlenszerűek, az átlaguk nagy vonalakban gyakorlatilag már nem véletlenszerű, és közel áll a -hoz. Ez azt jelenti, hogy ha ez nem ismert előre, akkor a számtani átlag segítségével kiszámítható. A független valószínűségi változók sorozatainak ezt a tulajdonságát ún a statisztikai stabilitás törvénye. A statisztikai stabilitás törvénye alapozza meg a statisztikai elemzés alkalmazásának lehetőségét konkrét gazdálkodási döntések meghozatalában.

4. tétel (Bernoulli). Ha mindegyikben P független kísérletek esetén az A esemény bekövetkezésének p valószínűsége állandó, akkor

,

ahol az A esemény előfordulásának száma ezeknél P tesztek.

Bizonyíték. Független valószínűségi változókat vezetünk be, ahol Х én egy valószínűségi változó eloszlási sorozattal

Ezután M(X én)=p, D(X én)=pq. Mivel , akkor D(X én) összesítése korlátozott. Csebisev tételéből következik, hogy

.

De X 1 + X 2 + ... + X P az A esemény előfordulásának száma egy sorozatban P tesztek.

Bernoulli tételének jelentése az, hogy az azonos független kísérletek számának korlátlan növekedésével, gyakorlati biztonsággal állítható, hogy egy esemény előfordulásának gyakorisága tetszőlegesen keveset fog eltérni egy külön kísérletben való előfordulásának valószínűségétől. ( az esemény valószínűségének statisztikai stabilitása). Ezért Bernoulli tétele hídként szolgál az alkalmazások elméletétől az alkalmazások felé.

A nagy számok törvénye V valószínűségelmélet kimondja, hogy az empirikus átlag ( átlagos) kellően nagy véges minta az elméleti átlaghoz közeli rögzített eloszlásból ( matematikai elvárás) ennek az elosztásnak. A konvergencia típusától függően a nagy számok gyenge törvényét akkor különböztetjük meg konvergencia valószínűsége, és a nagy számok erős törvénye, amikor konvergencia szint  mindenhol.

Mindig van véges számú kísérlet, amelyre adott valószínűséggel kisebb, mint 1 valamely esemény relatív előfordulási gyakorisága tetszőlegesen kevéssé fog eltérni annak valószínűségétől.

A nagy számok törvényének általános jelentése: nagyszámú azonos és független véletlentényező együttes hatása olyan eredményre vezet, amely határértékben nem a véletlentől függ.

A véges minta elemzésén alapuló valószínűségbecslési módszerek ezen a tulajdonságon alapulnak. Jó példa erre a választási eredmények előrejelzése választói mintán végzett felmérés alapján.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ A nagy számok törvénye

✪ 07 – Valószínűségszámítás. A nagy számok törvénye

✪ 42 A nagy számok törvénye

✪ 1 – Csebisev nagy számok törvénye

✪ 11. évfolyam, 25. lecke, Gauss-görbe. A nagy számok törvénye

Feliratok

Vessünk egy pillantást a nagy számok törvényére, amely talán a legintuitívabb törvény a matematikában és a valószínűségszámításban. És mivel nagyon sok mindenre vonatkozik, néha használják és félreértik. Hadd adjam meg először a pontosság definícióját, aztán beszéljünk az intuícióról. Vegyünk egy valószínűségi változót, mondjuk X. Tegyük fel, hogy ismerjük a matematikai elvárásait vagy a populációs átlagát. A nagy számok törvénye egyszerűen azt mondja, hogy ha egy valószínűségi változó n-edik számú megfigyelésének példáját vesszük, és az összes megfigyelés számát átlagoljuk... Vegyünk egy változót. Nevezzük X-nek n alsó indexszel és kötőjellel a tetején. Ez a valószínűségi változónk n-edik számú megfigyelésének számtani átlaga. Íme az első megfigyelésem. Egyszer megcsinálom a kísérletet, és megteszem ezt a megfigyelést, majd megismétlem, és megteszem ezt a megfigyelést, újra megcsinálom és ezt kapom. Ezt a kísérletet n-szer lefuttatom, majd elosztom a megfigyeléseim számával. Itt van a mintaátlagom. Itt van az általam végzett összes megfigyelés átlaga. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy a minta átlaga megközelíti a valószínűségi változó átlagát. Vagy azt is leírhatom, hogy a mintaátlagom megközelíti a végtelenbe tartó n-edik szám populációs átlagát. Nem teszek egyértelmű különbséget a "közelítés" és a "konvergencia" között, de remélem, intuitívan megértitek, hogy ha itt elég nagy mintát veszek, akkor a populáció egészére nézve megkapom a várható értéket. Azt hiszem, a legtöbben intuitív módon megértik, hogy ha elég sok tesztet végzek el sok példával, akkor a tesztek végül azt az értékeket fogják megadni, amelyeket elvárok, figyelembe véve a matematikai elvárásokat, valószínűségeket és minden mást. De azt hiszem, gyakran nem világos, miért történik ez. És mielőtt elkezdeném magyarázni, miért van ez így, hadd mondjak egy konkrét példát. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy... Tegyük fel, hogy van egy X valószínűségi változó. Ez egyenlő a fejek számával a helyes érme 100 feldobásakor. Először is ismerjük ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását. Ez az érmefeldobások vagy próbálkozások száma szorozva a próba sikerének esélyével. Tehát egyenlő 50-nel. Vagyis a nagy számok törvénye azt mondja, hogy ha mintát veszünk, vagy ha átlagolom ezeket a próbákat, akkor megkapom. .. Amikor először csinálok tesztet, feldobok egy érmét 100-szor, vagy veszek egy dobozt száz érmével, megrázom, majd megszámolom, hány fejet kapok, és megkapom mondjuk az 55-ös számot. X1. Aztán újra megrázom a dobozt, és a 65-ös számot kapom. Aztán megint - és 45-öt kapok. És ezt n-szer megcsinálom, majd elosztom a próbálkozások számával. A nagy számok törvénye azt mondja nekünk, hogy ez az átlag (az összes megfigyelésem átlaga) 50-re, míg n a végtelenre hajlik. Most egy kicsit arról szeretnék beszélni, hogy miért történik ez. Sokan úgy gondolják, hogy ha 100 próba után átlagon felüli az eredményem, akkor a valószínűség törvényei szerint több-kevesebb fejnek kell lennie ahhoz, hogy úgymond kompenzáljam a különbséget. Nem pontosan ez fog történni. Ezt gyakran "szerencsejátékos tévedésnek" nevezik. Hadd mutassam meg a különbséget. A következő példát fogom használni. Hadd rajzoljak egy grafikont. Változtassuk meg a színt. Ez n, az x tengelyem n. Ennyi tesztet fogok futtatni. És az én y tengelyem lesz a minta átlaga. Tudjuk, hogy ennek a tetszőleges változónak az átlaga 50. Hadd rajzoljam ezt le. Ez 50. Térjünk vissza példánkhoz. Ha n... Az első tesztem során 55-öt kaptam, ami az átlagom. Csak egy adatbeviteli pontom van. Aztán két próba után 65-öt kapok. Tehát az átlagom 65+55 osztva 2-vel. Ez 60. És az átlagom felment egy kicsit. Aztán 45-öt kaptam, ami megint csökkentette a számtani átlagomat. Nem fogok 45-öt ábrázolni a diagramon, most az egészet átlagolnom kell. Mit jelent 45+65? Hadd számítsam ki ezt az értéket a pont ábrázolásához. Ez 165 osztva 3-mal. Ez 53. Nem, 55. Tehát az átlag ismét 55-re csökken. Folytathatjuk ezeket a teszteket. Miután elvégeztünk három próbát, és ezt az átlagot kihoztuk, sokan azt gondolják, hogy a valószínűség istenei megcsinálják, hogy a jövőben kevesebb legyen a fejünk, hogy a következő néhány próba alacsonyabb lesz az átlag csökkentése érdekében. De ez nem mindig van így. A jövőben a valószínűség mindig ugyanaz marad. Annak a valószínűsége, hogy fejet fogok dobni, mindig 50%. Nem mintha eleinte bizonyos számú fejet kapok, többet, mint amire számítottam, aztán hirtelen kiesik a farok. Ez a "játékos tévedése". Ha aránytalanul sok fejet kap, az nem jelenti azt, hogy egy ponton aránytalanul sok farok fog hullani. Ez nem teljesen igaz. A nagy számok törvénye azt mondja, hogy ez nem számít. Mondjuk, bizonyos véges számú próbálkozás után az átlagod... Ennek elég kicsi a valószínűsége, de ennek ellenére... Tegyük fel, hogy az átlagod eléri ezt a 70-et. Azt gondolod: "Hűha, túlléptünk a várakozáson." De a nagy számok törvénye szerint nem mindegy, hány tesztet futtatunk le. Még mindig végtelen számú próba vár ránk. Ennek a végtelen számú próbának a matematikai elvárása, különösen egy ilyen helyzetben, a következő lesz. Ha kitalál egy véges számot, amely valamilyen nagy értéket fejez ki, egy végtelen szám, amely konvergál vele, ismét a várt értékhez vezet. Ez persze nagyon laza értelmezés, de ezt mondja nekünk a nagy számok törvénye. Fontos. Azt nem mondja nekünk, hogy ha sok fejünk lesz, akkor valahogy megnő az esélye annak, hogy farkokat kapjunk, hogy ezt kompenzálja. Ez a törvény azt mondja nekünk, hogy nem számít, mi az eredmény véges számú próbával, amíg még végtelen számú próba áll előtted. És ha eleget készítesz belőlük, akkor ismét visszatérsz az elvárásokhoz. Ez egy fontos szempont. Gondold át. De ezt a gyakorlatban nem használják naponta a lottóknál és kaszinóknál, pedig köztudott, hogy ha elég tesztet csinálsz... Még ki is számolhatjuk... mennyi a valószínűsége, hogy komolyan eltérünk a normától? De a kaszinók és a lottó minden nap azon az elven működnek, hogy ha elég embert viszel, persze rövid időn belül, kis mintával, akkor páran megütik a főnyereményt. De hosszú távon a kaszinó mindig profitál azokból a játékok paramétereiből, amelyekre meghívják Önt. Ez egy fontos valószínűségi elv, amely intuitív. Bár néha, amikor ezt formálisan véletlenszerű változókkal magyarázzák el, az egész kissé zavarosnak tűnik. Ez a törvény csak annyit mond, hogy minél több minta van, annál inkább konvergál ezeknek a mintáknak a számtani átlaga a valódi átlaghoz. És hogy pontosabbak legyünk, a minta számtani középértéke konvergál egy valószínűségi változó matematikai elvárásával. Ez minden. Találkozunk a következő videóban!

A nagy számok gyenge törvénye

A nagy számok gyenge törvényét Bernoulli tételének is nevezik Jacob – Bernoulli, aki 1713-ban bebizonyította.

Legyen egy végtelen sorozat (egymást követő felsorolás) azonos eloszlású és korrelálatlan valószínűségi változókból. Vagyis az övék kovariancia c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\all i\not =j). Hadd . Jelölje minta átlag első n (\displaystyle n) tagok:

.

Akkor X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Vagyis minden pozitívumra ε (\displaystyle \varepsilon )

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

A nagy számok erős törvénye

Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozata ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) egy valószínűségi téren van meghatározva (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Hadd E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Jelölje X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) az első mintaátlaga n (\displaystyle n) tagok:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Akkor X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) majdnem mindig.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ jobb)=1.) .

Mint minden matematikai törvény, a nagy számok törvénye is csak ismert feltevések mellett alkalmazható a való világra, aminek csak bizonyos fokú pontossággal lehet megfelelni. Így például az egymást követő tesztek feltételei gyakran nem tarthatók fenn a végtelenségig és abszolút pontossággal. Ráadásul a nagy számok törvénye csak arról beszél lehetetlenség az átlagérték szignifikáns eltérése a matematikai elvárástól.