Mikä on menestyneiden myyjien salaisuus? Jos seuraat minkä tahansa yrityksen parhaita myyjiä, huomaat, että heillä on yksi yhteinen piirre. Jokainen heistä tapaa enemmän ihmisiä ja pitää enemmän esityksiä kuin vähemmän menestyneet myyjät. Nämä ihmiset ymmärtävät, että myynti on numeropeliä, ja mitä useammalle ihmiselle he kertovat tuotteistaan ​​tai palveluistaan, sitä enemmän sopimuksia he tekevät, siinä kaikki. He ymmärtävät, että jos he kommunikoivat paitsi niiden harvojen kanssa, jotka varmasti sanovat kyllä ​​heille, myös niiden kanssa, joiden kiinnostus heidän ehdotukseensa ei ole niin suurta, keskiarvolaki toimii heidän edukseen.

Tulosi riippuvat myyntien määrästä, mutta samalla ne ovat suoraan verrannollisia tekemiesi esitysten määrään. Kun ymmärrät ja alat soveltaa keskiarvojen lakia, uuden yrityksen perustamiseen tai uudella alalla työskentelyyn liittyvä ahdistus alkaa vähentyä. Tämän seurauksena hallinnan tunne ja luottamus heidän ansaintakykyynsä alkavat kasvaa. Jos teet vain esityksiä ja hioat taitojasi siinä prosessissa, tarjouksia tulee.

Sen sijaan, että ajattelet tarjousten määrää, mieti esitysten määrää. Ei ole mitään järkeä herätä aamulla tai tulla kotiin illalla ja alkaa miettimään, kuka ostaa tuotteesi. Sen sijaan on parasta suunnitella joka päivä, kuinka monta puhelua sinun täytyy soittaa. Ja sitten, ei väliä mitä - soita kaikki nuo puhelut! Tämä lähestymistapa tekee työstäsi helpompaa - koska se on yksinkertainen ja tarkka tavoite. Jos tiedät, että sinulla on erittäin tarkka ja saavutettavissa oleva tavoite edessäsi, sinun on helpompi soittaa suunniteltu määrä puheluita. Jos kuulet "kyllä" muutaman kerran tämän prosessin aikana, sitä parempi!

Ja jos "ei", illalla sinusta tuntuu, että teit rehellisesti kaiken pystyt, etkä kiusaa ajatuksia siitä, kuinka paljon rahaa olet ansainnut tai kuinka monta kumppania olet hankkinut päivässä.

Oletetaan, että yrityksessäsi tai liiketoiminnassasi keskimääräinen myyjä tekee yhden kaupan joka neljäs esittely. Kuvittele nyt, että nostat kortteja pakasta. Jokainen kolmen värin kortti - pata, timantti ja maila - on esitys, jossa esität ammattimaisesti tuotteen, palvelun tai mahdollisuuden. Teet sen parhaasi mukaan, mutta et silti tee sopimusta. Ja jokainen sydänkortti on sopimus, jonka avulla voit saada rahaa tai hankkia uuden kumppanin.

Etkö tällaisessa tilanteessa haluaisi nostaa mahdollisimman monta korttia pakasta? Oletetaan, että sinua tarjotaan nostamaan niin monta korttia kuin haluat, samalla kun maksat sinulle tai ehdotat uutta toveria joka kerta, kun nostat sydänkortin. Alat nostaa kortteja innostuneesti, tuskin huomaamatta, mikä puku kortti on juuri vedetty ulos.

Tiedät, että 52 kortin pakassa on kolmetoista sydäntä. Ja kahdessa pakassa - kaksikymmentäkuusi sydänkorttia ja niin edelleen. Tuletko pettymään vetämällä lapioita, timantteja tai mailoja? Ei tietenkään! Ajattelet vain, että jokainen tällainen "neiti" tuo sinut lähemmäksi - mitä? Sydänten korttiin!

Mutta tiedätkö mitä? Sinulle on jo annettu tämä tarjous. Sinulla on ainutlaatuinen asema ansaita niin paljon kuin haluat ja nostaa niin monta sydänkorttia kuin haluat elämäsi aikana. Ja jos vain "piirrät kortteja" tunnollisesti, kehität taitojasi ja kestät pienen lapion, timantin ja mailan, sinusta tulee erinomainen myyjä ja menestyt.

Yksi asioista, jotka tekevät myynnistä niin hauskaa, on se, että aina kun sekoitat pakan, kortit sekoitetaan eri tavalla. Joskus kaikki sydämet päätyvät pakan alkuun, ja onnistuneen sarjan jälkeen (kun meistä jo näyttää siltä, ​​että emme koskaan häviä!) Odotamme pitkää riviä eri maata kortteja. Ja toisella kerralla päästäksesi ensimmäiseen sydämeen, sinun on käytävä läpi ääretön määrä lapioita, mailoja ja tamburiineja. Ja joskus eri pukuiset kortit putoavat tiukasti vuorotellen. Mutta joka tapauksessa jokaisessa 52 kortin pakassa, jossain järjestyksessä, on aina kolmetoista sydäntä. Vedä vain kortteja esiin, kunnes löydät ne.

Lähettäjä: Leylya,  

Keskiarvo on tilastojen yleisin indikaattori. Tämä johtuu siitä, että sitä voidaan käyttää populaation karakterisoimiseen kvantitatiivisesti vaihtelevan attribuutin mukaan. Esimerkiksi kahden yrityksen työntekijöiden palkkojen vertailua ei voida ottaa palkka kaksi työntekijää, koska se toimii vaihtelevana indikaattorina. Myöskään yrityksissä maksettujen palkkojen kokonaismäärää ei voida ottaa, koska se riippuu työntekijöiden määrästä. Jos jaamme kunkin yrityksen palkkojen kokonaismäärän työntekijöiden lukumäärällä, voimme verrata niitä ja selvittää, kummalla yrityksellä on korkeampi keskipalkka.

Toisin sanoen tutkitun työntekijäjoukon palkat saavat yleisen ominaisuuden keskiarvossa. Se ilmaisee sitä yleistä ja tyypillistä, joka on tyypillistä työntekijöiden kokonaisuudelle suhteessa tutkittavaan piirteeseen. Tässä arvossa se näyttää tämän attribuutin yleisen arvon, jolla on eri arvo perusjoukon yksiköille.

Keskiarvon määrittäminen. Tilastojen keskiarvo on samankaltaisten ilmiöiden joukon yleinen ominaisuus jonkin kvantitatiivisesti vaihtelevan ominaisuuden mukaan. Keskiarvo osoittaa tämän ominaisuuden tason suhteessa väestöyksikköön. Keskiarvon avulla on mahdollista verrata erilaisia ​​aggregaatteja keskenään erilaisten ominaisuuksien mukaan (tulot asukasta kohden, sadot, tuotantokustannukset eri yrityksissä).

Keskiarvo yleistää aina sen ominaisuuden kvantitatiivisen vaihtelun, jolla luonnehdimme tutkittavaa populaatiota ja joka on yhtä luontainen kaikille populaation yksiköille. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa keskiarvon takana on aina joukko populaation yksiköiden jakautumista jonkin muuttuvan ominaisuuden mukaan, ts. variaatiosarja. Tässä suhteessa keskiarvo eroaa olennaisesti suhteelliset arvot ja erityisesti intensiteetin indikaattoreita. Intensiteettiindikaattori on kahden eri aggregaatin volyymien suhde (esimerkiksi BKT:n tuotanto asukasta kohti), kun taas keskiarvo yleistää aggregaatin elementtien ominaisuudet yhden ominaisuuden mukaan (esim. työntekijän palkka).

Keskiarvo ja suurten lukujen laki. Keskimääräisten indikaattoreiden muutoksessa ilmenee yleinen trendi, jonka vaikutuksesta ilmiöiden kehitysprosessi kokonaisuutena muodostuu, kun taas yksittäisissä yksittäistapauksissa tämä suuntaus ei välttämättä ilmene selvästi. On tärkeää, että keskiarvot perustuvat tosiasioiden massiiviseen yleistykseen. Vain tällä ehdolla ne paljastavat prosessin taustalla olevan yleisen suuntauksen kokonaisuutena.

Suurten lukujen lain olemus ja sen merkitys keskiarvoille kumoaa havaintojen määrän kasvaessa yhä täydellisemmin satunnaisten syiden synnyttämät poikkeamat. Toisin sanoen suurten lukujen laki luo edellytykset vaihtelevan attribuutin tyypilliselle tasolle esiintyä keskiarvossa tietyissä paikan ja ajan olosuhteissa. Tämän tason arvon määrää tämän ilmiön olemus.

Keskiarvojen tyypit. Tilastoissa käytetyt keskiarvot kuuluvat teholain keskiarvojen luokkaan, yleinen kaava jolla on seuraava muoto:

missä x on tehon keskiarvo;

X - attribuutin arvojen muuttaminen (vaihtoehdot)

- numerovaihtoehto

Keskiarvon eksponentti;

Summa merkki.

Keskiarvon eksponentin eri arvoille saadaan erityyppisiä keskiarvoja:

Aritmeettinen keskiarvo;

Keskimääräinen neliö;

Keskimääräinen kuutio;

Keskimääräinen harmoninen;

Geometrinen keskiarvo.

Erilaisia keskiarvoilla on erilaisia ​​arvoja käytettäessä samaa lähdetilastomateriaalia. Samalla mitä suurempi on keskiarvon eksponentti, sitä suurempi on sen arvo.

Tilastoissa populaation oikea luonnehdinta kussakin yksittäistapauksessa annetaan vain täysin määrätyillä keskiarvoilla. Tämän tyyppisen keskiarvon määrittämiseen käytetään kriteeriä, joka määrittää keskiarvon ominaisuudet: keskiarvo on vasta silloin todellinen yleistävä ominaisuus populaatiolle vaihtelevan attribuutin mukaan, kun kaikki muunnelmat korvataan keskiarvolla. arvo, muuttuvan attribuutin kokonaismäärä pysyy muuttumattomana. Eli keskiarvon oikea tyyppi määräytyy sen mukaan, kuinka muuttuvan ominaisuuden kokonaisvolyymi muodostuu. Aritmeettista keskiarvoa käytetään siis, kun muuttujan ominaisuuden tilavuus muodostuu yksittäisten vaihtoehtojen summana, keskineliö - kun muuttuvan ominaisuuden tilavuus muodostuu neliöiden summana, harmonista keskiarvoa - muuttujan ominaisuuden summana. yksittäisten vaihtoehtojen vastavuoroiset arvot, geometrinen keskiarvo - yksittäisten vaihtoehtojen tuotteena. Tilastojen keskiarvojen lisäksi

Käytetään muuttujan ominaisuuden jakauman (rakenteelliset keskiarvot), moodin (yleisin variantti) ja mediaanin (keskivariantti) kuvaavia ominaisuuksia.

Luento 8. Osa 1. Todennäköisyyslaskenta

Käsiteltäviä asioita

1) Suurten lukujen laki.

2) Keskirajalause.

Suurten lukujen laki.

Laajassa mielessä suurten lukujen laki ymmärretään yleisperiaatteeksi, jonka mukaan suuren satunnaismuuttujan määrällä niiden keskimääräinen tulos lakkaa olemasta satunnainen ja se voidaan ennustaa suurella varmuudella.

Suurten lukujen laki suppeassa merkityksessä ymmärretään joukoksi matemaattisia lauseita, joista jokaisessa on tietyissä olosuhteissa mahdollisuus lähentää suuren määrän testien keskimääräisiä ominaisuuksia.

joihinkin tiettyihin vakioihin. Tällaisten lauseiden todistamisessa käytetään Markovin ja Tšebyševin epäyhtälöitä, jotka ovat myös riippumattomia.

Lause 1 (Markovin epäyhtälö). Jos satunnaismuuttuja saa ei-negatiivisia arvoja ja sillä on matemaattinen odotus, niin mille tahansa positiiviselle luvulle epäyhtälö

Todiste suoritamme diskreetille satunnaismuuttujalle. Oletetaan, että se ottaa arvot, joista ensimmäiset ovat pienempiä tai yhtä suuria ja kaikki muut ovat suurempia Sitten

missä

Esimerkki 1 Tehdasvaihteeseen tulee keskimäärin 300 puhelua tunnissa. Arvioi todennäköisyys, että seuraavan tunnin aikana keskukseen tulee puheluita:

1) ylittää 400;

2) on enintään 500.

Ratkaisu. 1) Olkoon satunnaismuuttuja kytkimeen saapuvien puheluiden lukumäärä tunnin aikana. Keskiarvo on. Meidän on siis arvioitava. Markovin epätasa-arvon mukaan

2) Näin ollen todennäköisyys, että puheluiden määrä on enintään 500, on vähintään 0,4.

Esimerkki 2 Pankkikonttorissa olevien talletusten summa on 2 miljoonaa ruplaa, ja todennäköisyys, että satunnaisesti otettu talletus ei ylitä 10 tuhatta ruplaa, on 0,6. Mitä voidaan sanoa osallistujien määrästä?

Ratkaisu. Olkoon satunnaisesti otettu arvo satunnaisesti otetun panoksen koko ja kaikkien panosten lukumäärä. Sitten (tuhatta). Markovin epätasa-arvon mukaan mistä

Esimerkki 3 Olkoon se aika, jolloin opiskelija myöhästyy luennolta, ja tiedetään, että hän myöhästyy keskimäärin 1 minuutin. Arvioi todennäköisyys, että opiskelija myöhästyy vähintään 5 minuuttia.

Ratkaisu. Oletuksella Markovin epäyhtälöä soveltamalla saamme sen

Näin ollen joka viidestä opiskelijasta korkeintaan 1 opiskelija myöhästyy vähintään 5 minuuttia.

Lause 2 (Tšebyshevin epäyhtälö). .

Todiste. Olkoon satunnaismuuttuja X annettu jakaumien sarjana

Jätetään dispersion määritelmän mukaan tästä summasta pois ne termit, joille . Samaan aikaan, koska kaikki termit eivät ole negatiivisia, summa voi vain pienentyä. Varmuuden vuoksi oletetaan, että ensimmäinen k ehdot. Sitten

Siten, .

Tšebyshevin epäyhtälö mahdollistaa ylhäältä estimoimisen todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja poikkeaa matemaattisesta odotuksestaan ​​perustuen vain varianssiaan koskeviin tietoihin. Sitä käytetään laajalti esimerkiksi estimointiteoriassa.

Esimerkki 4 Kolikkoa heitetään 10 000 kertaa. Arvioi todennäköisyys, että vaakunan esiintymistiheys poikkeaa arvosta 0,01 tai enemmän.

Ratkaisu. Otetaan käyttöön riippumattomat satunnaismuuttujat , jossa on satunnaismuuttuja jakaumasarjan kanssa

Sitten koska se jaetaan binomilain mukaan Vaakunan esiintymistiheys on satunnaismuuttuja missä . Siksi vaakunan esiintymistiheyden hajonta on Tšebyshevin epätasa-arvon mukaan, .

Siten keskimäärin korkeintaan neljänneksessä tapauksista 10 000 kolikonheiton kohdalla vaakunan tiheys poikkeaa sadasosalla tai enemmän.

Lause 3 (Chebyshev). Jos ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden varianssit ovat tasaisesti rajattuja (), niin

Todiste. Koska

sitten soveltamalla Chebyshev-epäyhtälöä saamme

Koska tapahtuman todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin 1, saamme mitä haluamme.

Seuraus 1. Jos ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden varianssit ovat tasaisesti rajattuja ja joilla on sama matemaattinen odotus A, Tuo

Yhtälö (1) viittaa siihen, että yksittäisten riippumattomien satunnaismuuttujien satunnaiset poikkeamat yhteisestä keskiarvostaan, kun ne ovat suuria massaltaan, kumoavat toisensa. Siksi, vaikka itse suuret ovat satunnaisia, niiden keskiarvo yleisesti, se ei käytännössä ole enää satunnainen ja lähellä . Tämä tarkoittaa, että jos sitä ei tiedetä etukäteen, se voidaan laskea aritmeettisen keskiarvon avulla. Tätä itsenäisten satunnaismuuttujien sekvenssien ominaisuutta kutsutaan tilastollisen vakauden laki. Tilastollisen vakauden laki perustelee mahdollisuuden soveltaa tilastoanalyysiä tiettyjen johtamispäätösten tekemiseen.

Lause 4 (Bernoulli). Jos jokaisessa P Riippumattomissa kokeissa tapahtuman A todennäköisyys p on vakio

,

missä on tapahtuman A esiintymien lukumäärä näille P testejä.

Todiste. Esittelemme riippumattomia satunnaismuuttujia, joissa X i on satunnaismuuttuja, jolla on jakaumasarja

Sitten M(X i)=p, D(X i)=pq. Koska , sitten D(X i) on rajoitettu määrä. Chebyshevin lauseesta seuraa, että

.

Mutta X 1 + X 2 + ... + X P on tapahtuman A esiintymisten lukumäärä sarjassa P testejä.

Bernoullin lauseen tarkoitus on, että identtisten riippumattomien kokeiden määrän rajoittamattomalla lisäyksellä voidaan käytännön varmuudella väittää, että tapahtuman esiintymistiheys eroaa mielivaltaisen vähän sen esiintymistodennäköisyydestä erillisessä kokeessa. ( tapahtuman todennäköisyyden tilastollinen vakaus). Siksi Bernoullin lause toimii siltana sovellusteoriasta sen sovelluksiin.

Suurten lukujen laki V todennäköisyysteoria toteaa, että empiirinen keskiarvo ( keskiverto) riittävän suuri äärellinen näyte kiinteästä jakaumasta lähellä teoreettista keskiarvoa ( matemaattinen odotus) tästä jakelusta. Konvergenssin tyypistä riippuen erotetaan suurten lukujen heikko laki, kun konvergenssi todennäköisyydellä, ja suurten lukujen vahva laki kun lähentymistä lähes kaikkialla.

Aina on rajallinen määrä kokeita, joiden määrä on millä tahansa todennäköisyydellä pienempi kuin 1 jonkin tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys eroaa mielivaltaisesti vähän sen todennäköisyydestä.

Suurten lukujen lain yleinen merkitys: suuren määrän identtisten ja riippumattomien satunnaistekijöiden yhteisvaikutus johtaa tulokseen, joka rajassa ei riipu sattumasta.

Tähän ominaisuuteen perustuvat menetelmät todennäköisyyden arvioimiseksi äärellisen näytteen analyysiin perustuen. Hyvä esimerkki on vaalitulosten ennustaminen äänestäjäotoksen kyselyn perusteella.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Suurten lukujen laki

✪ 07 - Todennäköisyyslaskenta. Suurten lukujen laki

✪ 42 suurten lukujen laki

✪ 1 - Tšebyshevin suurten lukujen laki

✪ Luokka 11, oppitunti 25, Gaussin käyrä. Suurten lukujen laki

Tekstitykset

Katsotaanpa suurten lukujen lakia, joka on ehkä matematiikan ja todennäköisyysteorian intuitiivisin laki. Ja koska se koskee niin monia asioita, sitä joskus käytetään ja ymmärretään väärin. Annan sille ensin tarkkuuden määritelmän, ja sitten puhumme intuitiosta. Otetaan satunnaismuuttuja, esimerkiksi X. Oletetaan, että tiedämme sen matemaattisen odotuksen tai populaation keskiarvon. Suurten lukujen laki sanoo yksinkertaisesti, että jos otamme esimerkin satunnaismuuttujan havaintojen n:nnestä määrästä ja laskemme kaikkien noiden havaintojen lukumäärän keskiarvon... Otetaan muuttuja. Kutsutaan sitä X:ksi, jossa on alaindeksi n ja viiva yläosassa. Tämä on satunnaismuuttujamme havaintojen n:nnen lukumäärän aritmeettinen keskiarvo. Tässä ensimmäinen havaintoni. Teen kokeen kerran ja teen tämän havainnon, sitten teen sen uudelleen ja teen tämän havainnon, teen sen uudelleen ja saan tämän. Suoritan tämän kokeen n kertaa ja jaan sitten havaintojeni lukumäärällä. Tässä on näytekeskiarvoni. Tässä on kaikkien tekemieni havaintojen keskiarvo. Suurten lukujen laki kertoo meille, että otokseni keskiarvo lähestyy satunnaismuuttujan keskiarvoa. Tai voin myös kirjoittaa, että otoskeskiarvoni lähestyy n:nnen luvun, joka menee äärettömyyteen, perusjoukon keskiarvoa. En tee selkeää eroa "lähentämisen" ja "konvergenssin" välillä, mutta toivon, että ymmärrätte intuitiivisesti, että jos otan tästä melko suuren otoksen, saan odotetun arvon koko populaatiolle. Luulen, että useimmat teistä ymmärtävät intuitiivisesti, että jos teen tarpeeksi testejä suurella esimerkkinäytteellä, lopulta testit antavat minulle odottamani arvot, kun otetaan huomioon matemaattiset odotukset, todennäköisyys ja kaikki tämä. Mutta mielestäni on usein epäselvää, miksi näin tapahtuu. Ja ennen kuin alan selittää, miksi näin on, anna minun antaa konkreettinen esimerkki. Suurten lukujen laki kertoo meille, että... Oletetaan, että meillä on satunnaismuuttuja X. Se on yhtä suuri kuin päiden lukumäärä 100 oikean kolikon heitossa. Ensinnäkin tiedämme tämän satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen. Tämä on kolikonheittojen tai kokeiden määrä kerrottuna minkä tahansa kokeen onnistumisen todennäköisyydellä. Se on siis yhtä suuri kuin 50. Eli suurten lukujen laki sanoo, että jos otamme näytteen tai lasken näiden kokeiden keskiarvon, saan sen. .. Kun teen testin ensimmäistä kertaa, heitän kolikon 100 kertaa tai otan laatikon, jossa on sata kolikkoa, ravistelen sitä ja lasken sitten kuinka monta päätä saan, ja saan vaikkapa luvun 55. Tämä on X1. Sitten ravistelen laatikkoa uudelleen ja saan numeron 65. Sitten taas - ja saan 45. Ja teen tämän n kertaa, ja sitten jaan sen kokeilujen lukumäärällä. Suurten lukujen laki kertoo meille, että tämä keskiarvo (kaikkien havaintojeni keskiarvo) on taipumus olla 50, kun taas n on taipumus äärettömään. Haluaisin nyt puhua hieman siitä, miksi näin tapahtuu. Monet uskovat, että jos tulokseni on 100 kokeilun jälkeen keskiarvon yläpuolella, niin todennäköisyyslakien mukaan minulla pitäisi olla enemmän tai vähemmän päätä, jotta niin sanotusti kompensoisin eroa. Tämä ei ole juuri sitä, mitä tapahtuu. Tätä kutsutaan usein "pelailijan harhaksi". Anna minun näyttää sinulle ero. Käytän seuraavaa esimerkkiä. Piirrän kaavion. Vaihdetaan väriä. Tämä on n, x-akselini on n. Tämä on testien määrä, jonka aion suorittaa. Ja minun y-akselini on otoskeskiarvo. Tiedämme, että tämän mielivaltaisen muuttujan keskiarvo on 50. Anna minun piirtää tämä. Tämä on 50. Palataanpa esimerkkiimme. Jos n on... Ensimmäisessä testissäni sain 55, mikä on keskiarvoni. Minulla on vain yksi tiedonsyöttöpiste. Sitten kahden kokeilun jälkeen saan 65. Joten keskiarvoni olisi 65+55 jaettuna kahdella. Se on 60. Ja keskiarvoni nousi hieman. Sitten sain 45, mikä alensi jälleen aritmeettista keskiarvoani. En piirrä kaavioon 45. Nyt minun on laskettava kaikki keskiarvo. Mikä on 45+65? Anna minun laskea tämä arvo edustamaan pistettä. Se on 165 jaettuna kolmella. Se on 53. Ei, 55. Joten keskiarvo laskee jälleen 55:een. Voimme jatkaa näitä testejä. Kun olemme tehneet kolme koetta ja päätyneet tähän keskiarvoon, monet ihmiset ajattelevat, että todennäköisyysjumalat tekevät sen niin, että saamme tulevaisuudessa vähemmän päitä, että seuraavat muutamat kokeet ovat alhaisempia keskiarvon alentamiseksi. Mutta näin ei aina ole. Jatkossa todennäköisyys pysyy aina samana. Todennäköisyys, että käännän päitä, on aina 50%. Ei sillä, että saan aluksi tietyn määrän päitä, enemmän kuin odotan, ja sitten yhtäkkiä hännät putoavat. Tämä on "pelaajan virhe". Jos saat suhteettoman määrän päitä, se ei tarkoita, että jossain vaiheessa alkaisi pudota suhteettoman paljon häntää. Tämä ei ole täysin totta. Suurten lukujen laki sanoo, että sillä ei ole väliä. Oletetaan, että tietyn rajallisen määrän kokeiden jälkeen keskiarvosi... Tämän todennäköisyys on melko pieni, mutta kuitenkin... Oletetaan, että keskiarvosi saavuttaa tämän merkin - 70. Ajattelet: "Vau, olemme ylittäneet odotukset." Mutta suurten lukujen laki sanoo, että sillä ei ole väliä kuinka monta testiä suoritamme. Meillä on vielä ääretön määrä koettelemuksia edessämme. Tämän äärettömän kokeiden määrän matemaattinen odotus, erityisesti tällaisessa tilanteessa, on seuraava. Kun keksit äärellisen luvun, joka ilmaisee jotain suurta arvoa, ääretön luku, joka konvergoi sen kanssa, johtaa jälleen odotusarvoon. Tämä on tietysti hyvin väljä tulkinta, mutta tämän kertoo suurten lukujen laki. On tärkeää. Hän ei kerro meille, että jos saamme paljon päitä, niin todennäköisyys saada häntää kasvaa kompensoimaan sitä. Tämä laki kertoo meille, että sillä ei ole väliä, mikä on lopputulos rajallisella määrällä kokeita, kunhan sinulla on vielä ääretön määrä kokeita edessäsi. Ja jos teet niitä tarpeeksi, palaat taas odotuksiin. Tämä on tärkeä seikka. Ajattele sitä. Mutta tätä ei käytännössä käytetä päivittäin arpajaisten ja kasinoiden kanssa, vaikka tiedetään, että jos tekee tarpeeksi testejä... Voimme jopa laskea sen... mikä on todennäköisyys, että poikkeamme vakavasti normista? Mutta kasinot ja arpajaiset toimivat joka päivä sillä periaatteella, että jos otat tarpeeksi ihmisiä, tietysti lyhyessä ajassa, pienellä näytteellä, niin muutama ihminen voittaa jättipotin. Mutta pitkällä aikavälillä kasino hyötyy aina niiden pelien parametreista, jotka ne kutsuvat sinut pelaamaan. Tämä on tärkeä todennäköisyysperiaate, joka on intuitiivinen. Vaikka joskus, kun se muodollisesti selitetään sinulle satunnaismuuttujilla, kaikki näyttää hieman hämmentävältä. Tämä laki sanoo vain, että mitä enemmän näytteitä on, sitä enemmän näiden näytteiden aritmeettinen keskiarvo suppenee kohti todellista keskiarvoa. Tarkemmin sanottuna otoksesi aritmeettinen keskiarvo konvergoi satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen kanssa. Siinä kaikki. Nähdään seuraavassa videossa!

Suurten lukujen heikko laki

Suurten lukujen heikkoa lakia kutsutaan myös Bernoullin lauseeksi Jacob-Bernoulli, joka todisti sen vuonna 1713.

Olkoon loputon sarja (peräkkäinen luettelointi) identtisesti jakautuneita ja korreloimattomia satunnaismuuttujia . Eli heidän kovarianssi c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\näyttötyyli \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\kaikki i\not =j). Antaa . Merkitse näyte keskiarvo ensimmäinen n (\displaystyle n) jäsenet:

.

Sitten X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Eli jokaiselle positiiviselle ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Vahva suurten lukujen laki

Olkoon riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia ääretön sarja ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) määritelty yhdelle todennäköisyysavaruudelle (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Antaa E Xi = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\kaikki i\in \mathbb (N) ). Merkitse X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) näytteen keskiarvo ensimmäisestä n (\displaystyle n) jäsenet:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Sitten X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) melkein aina.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ oikea)=1.) .

Kuten mitä tahansa matemaattista lakia, suurten lukujen lakia voidaan soveltaa todelliseen maailmaan vain tunnetuilla olettamuksilla, jotka voidaan täyttää vain tietyllä tarkkuudella. Joten esimerkiksi peräkkäisten testien ehtoja ei useinkaan voida ylläpitää loputtomiin ja ehdottomalla tarkkuudella. Lisäksi suurten lukujen laki puhuu vain epätodennäköisyys keskiarvon merkittävä poikkeama matemaattisesta odotuksesta.