kirjoittaja: Otetaan mielivaltainen muotokappale. Onko mahdollista ripustaa se langan päälle niin, että se pysyy ripustamisen jälkeen asennossaan (eli ei lähde kääntymään), kun minkä tahansa alkusuuntaus (kuva 27.1)?

Toisin sanoen, onko olemassa sellaista pistettä, johon nähden kehon eri osiin vaikuttavien painovoimavoimien momenttien summa olisi nolla minkä tahansa kehon suunta avaruudessa?

Lukija: Kyllä, luulen niin. Tällaista kohtaa kutsutaan kehon painopiste.

Todiste. Yksinkertaisuuden vuoksi harkitse kappaletta, joka on mielivaltaisen muotoisen litteän levyn muodossa, joka on mielivaltaisesti suunnattu avaruuteen (kuva 27.2). Ota koordinaattijärjestelmä X 0klo jonka origo on massakeskipisteessä - piste FROM, sitten x C = 0, osoitteessa C = 0.

Edustamme tätä kehoa suuren määrän pistemassojen kokoelmana m i, joiden kunkin sijainnin antaa sädevektori .

Massakeskuksen ja koordinaatin määritelmän mukaan x C = .

Koska meidän koordinaattijärjestelmässämme x C= 0, sitten . Kerrotaan tämä yhtälö g ja saada

Kuten kuvasta näkyy. 27.2, | x i| on voiman olkapää. Ja jos x i> 0, sitten voimamomentti M i> 0 ja jos x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i voiman hetki tulee olemaan M i = m i gx i . Sitten yhtäläisyys (1) vastaa , Jossa M i on painovoiman hetki. Ja tämä tarkoittaa, että kehon mielivaltaisella suunnalla kehoon vaikuttavien painovoimavoimien momenttien summa on yhtä suuri kuin nolla suhteessa sen massakeskukseen.

Jotta harkitsemamme keho olisi tasapainossa, siihen on sovellettava jossakin pisteessä FROM pakottaa T = mg osoittaa pystysuoraan ylöspäin. Tämän voiman hetki pisteestä FROM on yhtä kuin nolla.

Koska päättelymme ei millään tavalla riippunut siitä, kuinka tarkkaan keho on avaruudessa suunnattu, osoitimme, että painopiste on sama kuin massakeskipiste, mikä oli todistettava.

Ongelma 27.1. Etsi painottoman pituisen sauvan painopiste l, jonka päihin on kiinnitetty kaksi pistemassaa T 1 ja T 2 .

T 1 T 2 l	Ratkaisu. Emme etsi painopistettä, vaan massakeskusta (koska ne ovat yksi ja sama). Esittelemme akselin X(Kuva 27.3). Riisi. 27.3
x C =?

Vastaus: pois massasta T 1 .

LOPETTAA! Päätä itse: B1-B3.

Lausunto 1 . Jos homogeenisella litteällä kappaleella on symmetria-akseli, painopiste on tällä akselilla.

Todellakin, mille tahansa pistemassalle m i, joka sijaitsee symmetria-akselin oikealla puolella, on sama pistemassa, joka sijaitsee symmetrisesti ensimmäiseen nähden (kuva 27.4). Tässä tapauksessa voimien momenttien summa.

Koska koko kappale voidaan esittää jaettuna samanlaisiin pistepareihin, painovoiman kokonaismomentti suhteessa mihin tahansa symmetria-akselilla olevaan pisteeseen on nolla, mikä tarkoittaa, että myös kappaleen painopiste sijaitsee tällä akselilla. Tästä seuraa tärkeä johtopäätös: jos kappaleessa on useita symmetriaakseleita, niin painopiste on näiden akselien leikkauskohdassa(Kuva 27.5).

Riisi. 27.5

Lausuma 2. Jos kaksi kappaletta, joilla on massoja T 1 ja T 2 on yhdistetty yhdeksi, silloin tällaisen kappaleen painopiste on suoralla linjalla, joka yhdistää ensimmäisen ja toisen kappaleen painopisteet (kuva 27.6).

Riisi. 27.6 Riisi. 27.7

Todiste. Järjestetään komposiittikappale niin, että kappaleiden painopisteitä yhdistävä segmentti on pystysuora. Sitten ensimmäisen kappaleen painovoimamomenttien summa pisteen suhteen FROM 1 on yhtä suuri kuin nolla ja toisen kappaleen pisteen ympärillä olevien painovoimamomenttien summa FROM 2 on nolla (kuva 27.7).

huomaa, että olkapää minkä tahansa pistemassan painovoima t i sama minkä tahansa janan pisteen suhteen FROM 1 FROM 2, ja siten painovoiman suhteessa mihin tahansa segmentillä olevaan pisteeseen FROM 1 FROM 2 ovat samat. Siksi koko kehon painovoima on nolla suhteessa mihin tahansa segmentin pisteeseen FROM 1 FROM 2. Siten komposiittikappaleen painopiste sijaitsee segmentillä FROM 1 FROM 2 .

Lause 2 sisältää tärkeän käytännön johtopäätöksen, joka on selkeästi muotoiltu ohjeiden muodossa.

ohje,

kuinka löytää jäykän kappaleen painopiste, jos se voidaan rikkoa

osiin, joiden jokaisen painopisteiden sijainti tunnetaan

1. Korvaa jokainen osa massalla, joka sijaitsee kyseisen osan painopisteessä.

2. Etsi Painovoiman keskipiste(ja tämä on sama kuin painopiste) tuloksena olevasta pistemassajärjestelmästä valitsemalla sopiva koordinaattijärjestelmä X 0klo, kaavojen mukaan:

Todellakin, sijoitetaan yhdistelmäkappale siten, että segmentti FROM 1 FROM 2 oli vaakasuora, ja ripustamme sen kierteisiin kohdissa FROM 1 ja FROM 2 (kuva 27.8, mutta). On selvää, että keho on tasapainossa. Ja tämä tasapaino ei häiriinny, jos korvaamme jokaisen kappaleen pistemassoilla T 1 ja T 2 (kuva 27.8, b).

Riisi. 27.8

LOPETTAA! Päätä itse: C3.

Ongelma 27.2. Massapallot asetetaan tasasivuisen kolmion kahteen kärkeen T joka. Kolmas huippu sisältää pallon, jonka massa on 2 T(Kuva 27.9, mutta). Kolmion puoli mutta. Määritä tämän järjestelmän painopiste.

T 2T mutta	Riisi. 27.9
x C = ? osoitteessa C = ?

Ratkaisu. Esittelemme koordinaattijärjestelmän X 0klo(Kuva 27.9, b). Sitten

,

.

Vastaus: x C = mutta/2; ; painopiste on puolessa korkeudesta ILMOITUS.

6.1. Yleistä tietoa

Rinnakkaisvoimien keskus
Harkitse kahta samansuuntaista voimaa, jotka on suunnattu samaan suuntaan , ja , Sovelletaan kehoon kohdissa MUTTA 1 ja MUTTA 2 (kuva 6.1). Tällä voimajärjestelmällä on resultantti, jonka toimintalinja kulkee tietyn pisteen kautta FROM. Pisteasema FROM löytyy Varignonin lauseella:

Jos käännät voimaa ja lähelle pisteitä MUTTA 1 ja MUTTA 2 yhteen suuntaan ja samassa kulmassa, niin saadaan uusi rinnakkaisten rasvojen järjestelmä, jossa on samat moduulit. Tässä tapauksessa niiden resultantti kulkee myös pisteen läpi FROM. Tällaista pistettä kutsutaan rinnakkaisten voimien keskipisteeksi.
Tarkastellaan järjestelmää, jossa jäykkään kappaleeseen kohdistetaan yhdensuuntaisia ​​ja tasasuuntaisia ​​voimia. Tällä järjestelmällä on tulos.
Jos järjestelmän jokaista voimaa kierretään niiden kohdistamispisteiden lähellä samaan suuntaan ja samaan kulmaan, saadaan uusia samansuuntaisten rinnakkaisten voimien järjestelmiä samoilla moduuleilla ja kohdistamispisteillä. Tällaisten järjestelmien resultantilla on sama moduuli R, mutta joka kerta eri suuntaan. Jätti voimaa F 1 ja F 2 huomaa, että niiden tuloksena R 1 , joka kulkee aina pisteen läpi FROM 1, jonka asema määräytyy tasa-arvon perusteella. Lisätään lisää R 1 ja F 3 , etsi niiden resultantti, joka kulkee aina pisteen läpi FROM 2 makaa linjalla MUTTA 3 FROM 2. Saatuamme voimien lisäysprosessin loppuun tulemme siihen tulokseen, että kaikkien voimien resultantti todellakin kulkee aina saman pisteen kautta FROM, jonka sijainti pisteisiin nähden pysyy muuttumattomana.
Piste FROM, jonka kautta tuloksena olevan rinnakkaisten voimien järjestelmän toimintalinja kulkee näiden voimien missä tahansa pyörimispisteessä lähellä niiden kohdistuspisteitä samassa suunnassa samassa kulmassa, kutsutaan rinnakkaisten voimien keskipisteeksi (kuva 6.2).

Kuva 6.2

Määritetään rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatit. Pisteen sijainnista lähtien FROM kappaleen suhteen on muuttumaton, silloin sen koordinaatit eivät riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta. Pyöritä kaikkia voimia niiden kohdistamisen lähellä niin, että ne tulevat yhdensuuntaisiksi akselin kanssa OU ja soveltaa Varignonin lausetta pyöriviin voimiin. Koska R" on näiden voimien resultantti, niin meillä on Varignon-lauseen mukaan , koska , , saamme

Täältä löydämme rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatin zc:

Koordinaattien määrittämiseksi xc muodosta lauseke akselin ympärillä olevien voimien momentille Oz.

Koordinaattien määrittämiseksi yc Kierrä kaikkia voimia niin, että ne tulevat yhdensuuntaisiksi akselin kanssa Oz.

Yhdensuuntaisten voimien keskipisteen sijainti suhteessa origoon (kuva 6.2) voidaan määrittää sen sädevektorilla:

6.2. Jäykän kappaleen painopiste

Painovoiman keskipiste jäykästä kappaleesta on piste, joka liittyy aina tähän runkoon FROM, jonka kautta tietyn kappaleen painovoiman resultantin toimintaviiva kulkee kehon missä tahansa asemassa avaruudessa.
Painopistettä käytetään kappaleiden ja jatkuvien väliaineiden tasapainoasemien stabiiliuden tutkimuksessa painovoiman vaikutuksen alaisena ja joissakin muissa tapauksissa, nimittäin: materiaalien kestävyydessä ja rakennemekaniikassa - käytettäessä Vereshchagin-sääntöä.
On kaksi tapaa määrittää kehon painopiste: analyyttinen ja kokeellinen. Analyyttinen menetelmä painopisteen määrittämiseksi seuraa suoraan rinnakkaisten voimien keskipisteen käsitteestä.
Painopisteen koordinaatit rinnakkaisten voimien keskipisteenä määritetään seuraavilla kaavoilla:

missä R- koko kehon paino; pk- kehon hiukkasten paino; xk, yk, zk- kehon hiukkasten koordinaatit.
Homogeenisessa kappaleessa koko kehon ja minkä tahansa sen osan paino on verrannollinen tilavuuteen P = Vγ, pk = vk γ, missä γ - paino tilavuusyksikköä kohti, V- kehon tilavuus. Ilmaisujen korvaaminen P, pk kaavoihin painopisteen koordinaattien määrittämiseksi ja vähentämiseksi yhteisellä kertoimella γ , saamme:

Piste FROM, jonka koordinaatit määritetään saatujen kaavojen avulla, kutsutaan tilavuuden painopiste.
Jos runko on ohut homogeeninen levy, painopiste määritetään kaavoilla:

missä S- koko levyn pinta-ala; sk- sen osan pinta-ala; xk, yk- levyosien painopisteen koordinaatit.
Piste FROM tässä tapauksessa kutsutaan painopistealue.
Tasokuvioiden painopisteen koordinaatit määrittävien lausekkeiden osoittajia kutsutaan nimellä alueen staattiset hetket akseleista klo Ja X:

Sitten alueen painopiste voidaan määrittää kaavoilla:

Kappaleille, joiden pituus on monta kertaa suurempi kuin poikkileikkauksen mitat, määritetään linjan painopiste. Viivan painopisteen koordinaatit määritetään seuraavilla kaavoilla:

missä L- rivin pituus; lk- sen osien pituus; xk, yk, zk- viivan osien painopisteen koordinaatit.

6.3. Menetelmät kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi

Saatujen kaavojen perusteella on mahdollista ehdottaa käytännön menetelmiä kappaleiden painopisteiden määrittämiseksi.
1. Symmetria. Jos keholla on symmetriakeskus, niin painopiste on symmetrian keskipisteessä.
Jos keholla on symmetriataso. Esimerkiksi XOU-taso, sitten painopiste sijaitsee tässä tasossa.
2. jakaminen. Yksinkertaisista kappaleista koostuville kappaleille käytetään halkaisumenetelmää. Runko on jaettu osiin, joiden painopiste löydetään symmetriamenetelmällä. Koko kehon painopiste määräytyy tilavuuden (alueen) painopisteen kaavoilla.

Esimerkki. Määritä levyn painopiste alla olevassa kuvassa (Kuva 6.3). Levy voidaan jakaa eri tavoin suorakulmioiksi ja määrittää kunkin suorakulmion painopisteen koordinaatit ja niiden pinta-ala.

Kuva 6.3

Vastaus: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Lisäys. Tämä menetelmä on osiointimenetelmän erikoistapaus. Sitä käytetään, kun rungossa on lovia, leikkauksia jne., jos tunnetaan kappaleen painopisteen koordinaatit ilman lovea.

Esimerkki. Määritä pyöreän levyn painopiste, jossa on säteellä varustettu leikkaus r = 0,6 R(Kuva 6.4).

Kuva 6.4

Pyöreässä levyssä on symmetriakeskus. Laitetaan koordinaattien origo levyn keskelle. Levyalue ilman lovea, lovialue. Lovilevyalue; .
Lovilevyssä on symmetria-akseli O1 x, Näin ollen yc=0.

4. Liittäminen. Jos kappaletta ei voida jakaa äärelliseen määrään osia, joiden painopisteiden paikat ovat tiedossa, kappale jaetaan mielivaltaisiin pieniin tilavuuksiin, joille osiointimenetelmää käyttävä kaava saa muodon: .
Edelleen ne menevät rajaan asti, jolloin alkeistilavuudet nollaan, ts. volyymit pisteiksi. Summat korvataan integraaleilla, jotka on laajennettu koko kehon tilavuuteen, sitten kaavat tilavuuden painopisteen koordinaattien määrittämiseksi ovat muotoa:

Kaavat alueen painopisteen koordinaattien määrittämiseksi:

Alueen painopisteen koordinaatit on määritettävä levyjen tasapainoa tutkittaessa rakennemekaniikan Mohrin integraalia laskettaessa.

Esimerkki. Määritä säteen ympyränkaaren painopiste R keskikulmalla AOB= 2α (kuva 6.5).

Riisi. 6.5

Ympyrän kaari on symmetrinen akseliin nähden vai niin, siksi kaaren painopiste on akselilla vai niin, yс = 0.
Viivan painopisteen kaavan mukaan:

6.Kokeellinen tapa. Monimutkaisen konfiguraation omaavien epähomogeenisten kappaleiden painopisteet voidaan määrittää kokeellisesti: ripustamalla ja punnitsemalla. Ensimmäinen tapa on, että runko on ripustettu kaapeliin eri kohdissa. Köyden suunta, johon runko on ripustettu, antaa painovoiman suunnan. Näiden suuntien leikkauspiste määrää kehon painopisteen.
Punnitusmenetelmässä määritetään ensin korin, kuten auton, paino. Sitten vaa'alla määritetään auton taka-akselin paine tukeen. Laadimalla tasapainoyhtälön johonkin pisteeseen, esimerkiksi etupyörien akseliin, voit laskea etäisyyden tästä akselista auton painopisteeseen (kuva 6.6).

Kuva 6.6

Joskus tehtäviä ratkaistaessa on tarpeen soveltaa samanaikaisesti erilaisia ​​menetelmiä painopisteen koordinaattien määrittämiseen.

6.4 Joidenkin yksinkertaisten geometristen muotojen painopisteet

Yhteisen muotoisten kappaleiden (kolmio, ympyräkaari, sektori, segmentti) painopisteiden määrittämiseen on kätevää käyttää vertailutietoja (taulukko 6.1).

Taulukko 6.1

Joidenkin homogeenisten kappaleiden painopisteen koordinaatit

№	Kuvan nimi	Kuva
	ympyrän kaari: homogeenisen ympyrän kaaren painopiste on symmetria-akselilla (koordinaatti yc=0). R on ympyrän säde.
	Homogeeninen pyöreä sektori yc=0). jossa α on puolet keskikulmasta; R on ympyrän säde.
	Segmentti: painopiste sijaitsee symmetria-akselilla (koordinaatilla yc=0). jossa α on puolet keskikulmasta; R on ympyrän säde.
	Puoliympyrä:
	Kolmio: homogeenisen kolmion painopiste on sen mediaanien leikkauspisteessä. missä x1, y1, x2, y2, x3, y3- kolmion kärkien koordinaatit
	Kartio: homogeenisen pyöreän kartion painopiste sijaitsee sen korkeudella ja on 1/4:n etäisyydellä kartion pohjasta.

Oppikirja 7 luokalle

§ 25.3. Kuinka löytää kehon painopiste?

Muista, että painopiste on painovoiman sovelluspiste. Pohditaan, kuinka löytää kokeellisesti litteän kappaleen - esimerkiksi pahvista leikatun mielivaltaisen muodon - painopisteen sijainti (ks. laboratoriotyö nro 12).

Ripustamme pahvihahmon tapilla tai naulalla niin, että se voi pyöriä vapaasti pisteen O läpi kulkevan vaaka-akselin ympäri (kuva 25.4, a). Sitten tätä lukua voidaan pitää vipuna, jossa on tukipiste O.

Riisi. 25.4. Kuinka löytää tasaisen hahmon painopiste kokeellisesti

Kun kuvio on tasapainossa, siihen vaikuttavat voimat tasapainottavat toisiaan. Tämä on kuvion T painopisteeseen kohdistettu painovoima Ft ja pisteeseen O kohdistettu kimmovoima Ft (tämä voima kohdistetaan tapin tai naulan sivulta).

Nämä kaksi voimaa tasapainottavat toisiaan vain sillä ehdolla, että näiden voimien kohdistamispisteet (pisteet T ja O) ovat samalla pystysuoralla (katso kuva 25.4, a). Muuten painovoima pyörittää kuvaa pisteen O ympäri (kuva 25.4, b).

Joten kun hahmo on tasapainossa, painopiste on samassa pystysuorassa ripustuspisteen O kanssa. Näin voit määrittää hahmon painopisteen sijainnin. Piirretään luotiviivalla ripustuspisteen kautta kulkeva pystyviiva (sininen viiva kuvassa 25.4, c). Kehon painopiste sijaitsee piirretyllä viivalla. Toistamme tämän kokeen ripustuspisteen eri asennossa. Tuloksena saadaan toinen viiva, jolla on kehon painopiste (vihreä viiva kuvassa 25.4, d). Näin ollen näiden viivojen leikkauskohdassa on kehon haluttu painopiste (punainen piste G kuvassa 25.4, d).

Edellä saatujen yleisten kaavojen perusteella on mahdollista osoittaa erityisiä menetelmiä kappaleiden painopisteiden koordinaattien määrittämiseksi.

1. Symmetria. Jos homogeenisella kappaleella on taso, akseli tai symmetriakeskus (kuva 7), niin sen painopiste sijaitsee vastaavasti symmetriatasolla, symmetria-akselilla tai symmetriakeskipisteellä.

Kuva 7

2. Halkaisu. Runko on jaettu äärelliseen määrään osia (kuva 8), joista jokaiselle tunnetaan painopisteen sijainti ja pinta-ala.

Kuva 8

3.Negatiivisten alueiden menetelmä. Erityinen osiointimenetelmän tapaus (kuva 9). Se koskee kappaleita, joissa on aukko, jos kappaleen painopisteet ilman leikkausta ja leikkausta tunnetaan. Leikatun levyn muodossa olevaa kappaletta edustaa kiinteän levyn (ilman leikkausta) yhdistelmä, jonka pinta-ala on S 1 ja leikatun osan pinta-ala S 2 .

Kuva 9

4.ryhmittelymenetelmä. Se on hyvä lisä kahteen viimeiseen menetelmään. Kun kuvio on hajotettu sen osiin elementteihin, voi olla kätevää yhdistää osa niistä uudelleen, jotta ratkaisua voidaan yksinkertaistaa ottamalla huomioon tämän ryhmän symmetria.

Joidenkin homogeenisten kappaleiden painopisteet.

1) Ympyränkaaren painopiste. Harkitse kaaria AB säde R keskikulmalla. Symmetrian vuoksi tämän kaaren painopiste sijaitsee akselilla Härkä(Kuva 10).

Kuva 10

Etsitään koordinaatit kaavan avulla. Voit tehdä tämän valitsemalla kaaresta AB elementti MM' pituus , jonka sijainti määräytyy kulman mukaan . Koordinoi X elementti MM' tulee . Korvaa nämä arvot X ja d l ja kun otetaan huomioon, että integraalia on jatkettava koko kaaren pituudelle, saadaan:

missä L- kaaren pituus AB, yhtä kuin .

Sieltä lopulta huomaamme, että ympyränkaaren painopiste sijaitsee sen symmetria-akselilla etäisyyden päässä keskustasta NOIN yhtä kuin

jossa kulma mitataan radiaaneina.

2) Kolmion alueen painopiste. Harkitse tasossa olevaa kolmiota Oxy, jonka kärkikoordinaatit tunnetaan: Ai(x i,y i), (i= 1,2,3). Kolmion murtaminen kapeiksi nauhoiksi sivun suuntaisesti MUTTA 1 MUTTA 2 , tulemme siihen tulokseen, että kolmion painopisteen tulee kuulua mediaaniin MUTTA 3 M 3 (kuvio 11).

Kuva 11

Kolmion murtaminen sivun suuntaisiksi nauhoiksi MUTTA 2 MUTTA 3 , voit varmistaa, että sen on oltava mediaanilla MUTTA 1 M yksi . Tällä tavoin, kolmion painopiste on sen mediaanien leikkauspisteessä, joka, kuten tiedät, erottaa kolmannen osan kustakin mediaanista vastaavalta puolelta laskettuna.

Etenkin mediaanille MUTTA 1 M 1 saamme, koska pisteen koordinaatit M 1 on kärjen koordinaattien aritmeettinen keskiarvo MUTTA 2 ja MUTTA 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Siten kolmion painopisteen koordinaatit ovat sen kärkien koordinaattien aritmeettinen keskiarvo:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Pyöreän sektorin alueen painopiste. Tarkastellaan säteisen ympyrän sektoria R jonka keskikulma on 2α ja joka sijaitsee symmetrisesti akselin ympäri Härkä(Kuvio 12) .

Se on selvää y c = 0, ja etäisyys ympyrän keskipisteestä, josta tämä sektori leikataan, sen painopisteeseen voidaan määrittää kaavalla:

Kuva 12

Helpoin tapa laskea tämä integraali on jakaa integrointialue alkeissektoreiksi kulmalla dφ. Ensimmäisen kertaluvun äärettömiin pieniin määriin asti tällainen sektori voidaan korvata kolmiolla, jonka kanta on yhtä suuri kuin R× dφ ja korkeus R. Tällaisen kolmion pinta-ala dF=(1/2)R 2 ∙dφ, ja sen painopiste on 2/3:n etäisyydellä R ylhäältä, joten laitamme kohtaan (5). x = (2/3)R∙cosφ. Korvataan kohtaan (5) F= α R 2, saamme:

Viimeisen kaavan avulla laskemme erityisesti etäisyyden painopisteeseen puoliympyrä.

Korvaamalla kohdan (2) α = π/2, saamme: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Esimerkki 1 Määritetään kuvan 1 mukaisen homogeenisen kappaleen painopiste. 13.

Kuva 13

Runko on homogeeninen ja koostuu kahdesta symmetrisestä osasta. Niiden painopisteiden koordinaatit:

Niiden määrät:

Siksi kehon painopisteen koordinaatit

Esimerkki 2 Etsi suorassa kulmassa taivutetun levyn painopiste. Mitat - piirustuksessa (kuva 14).

Kuva 14

Painopisteiden koordinaatit:

Neliöt:

Riisi. 6.5

Esimerkki 3 Neliömäisestä arkista cm leikataan neliömäinen reikä cm (kuva 15). Etsi arkin painopiste.

Kuva 15

Tässä ongelmassa on kätevämpää jakaa runko kahteen osaan: suureen neliöön ja neliömäiseen reikään. Vain reiän pinta-alaa tulisi pitää negatiivisena. Sitten levyn ja reiän painopisteen koordinaatit:

koordinoida koska keholla on symmetria-akseli (diagonaali).

Esimerkki 4 Vaijerikannatin (kuva 16) koostuu kolmesta samanpituisesta osasta l.

Kuva 16

Osuuksien painopisteiden koordinaatit:

Siksi koko kiinnikkeen painopisteen koordinaatit:

Esimerkki 5 Määritä ristikon painopisteen sijainti, jonka kaikilla tangoilla on sama lineaarinen tiheys (kuva 17).

Muista, että fysiikassa kappaleen tiheys ρ ja sen ominaispaino g liittyvät toisiinsa suhteella: γ= ρ g, missä g- painovoiman kiihtyvyys. Tällaisen homogeenisen kappaleen massan löytämiseksi sinun on kerrottava tiheys sen tilavuudella.

Kuva 17

Termi "lineaarinen" tai "lineaarinen" tiheys tarkoittaa, että ristikon tangon massan määrittämiseksi lineaarinen tiheys on kerrottava tämän tangon pituudella.

Voit ratkaista ongelman käyttämällä osiointimenetelmää. Esittämällä annettua ristikkoa 6 yksittäisen tangon summana, saamme:

missä L i pituus i- tilan sauva ja x i, y i ovat sen painopisteen koordinaatit.

Tämän ongelman ratkaisua voidaan yksinkertaistaa ryhmittelemällä viimeiset 5 ristikkotankoa. On helppo nähdä, että ne muodostavat hahmon, jonka symmetriakeskus sijaitsee neljännen tangon keskellä, missä tämän sauvaryhmän painopiste sijaitsee.

Näin ollen tietty ristikko voidaan edustaa vain kahden sauvaryhmän yhdistelmällä.

Ensimmäinen ryhmä koostuu sen ensimmäisestä sauvasta L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Toinen sauvaryhmä koostuu viidestä tangosta, joille L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Tilan painopisteen koordinaatit löytyvät kaavasta:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Huomaa, että keskellä FROM sijaitsee yhdistävällä linjalla FROM 1 ja FROM 2 ja jakaa segmentin FROM 1 FROM 2 liittyen: FROM 1 FROM/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

Mikä on rinnakkaisten voimien keskipiste?

Miten rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatit määritetään?

Kuinka määrittää yhdensuuntaisten voimien keskus, joiden resultantti on nolla?

Mikä on rinnakkaisten voimien keskuksen ominaisuus?

Millä kaavoilla lasketaan rinnakkaisten voimien keskipisteen koordinaatit?

Mikä on kehon painopiste?

Miksi Maan vetovoimat, jotka vaikuttavat kehon pisteeseen, voidaan pitää rinnakkaisten voimien järjestelmänä?

Kirjoita muistiin kaava epähomogeenisten ja homogeenisten kappaleiden painopisteen sijainnin määrittämiseksi, kaava litteiden osien painopisteen sijainnin määrittämiseksi?

Kirjoita muistiin kaava yksinkertaisten geometristen muotojen painopisteen sijainnin määrittämiseksi: suorakulmio, kolmio, puolisuunnikkaan ja puoliympyrän?

Mitä kutsutaan alueen staattiseksi momentiksi?

Anna esimerkki kappaleesta, jonka painopiste sijaitsee kehon ulkopuolella.

Miten symmetriaominaisuuksia käytetään kappaleiden painopisteiden määrittämiseen?

Mikä on negatiivisten painojen menetelmän ydin?

Missä ympyränkaaren painopiste sijaitsee?

Millä graafisella konstruktiolla voidaan löytää kolmion painopiste?

Kirjoita muistiin kaava, joka määrittää ympyränmuotoisen sektorin painopisteen.

Johda samanlainen kaava ympyränmuotoiselle segmentille käyttämällä kaavoja, jotka määrittävät kolmion ja ympyränmuotoisen sektorin painopisteet.

Millä kaavoilla lasketaan homogeenisten kappaleiden, tasokuvioiden ja suorien painopisteiden koordinaatit?

Mitä kutsutaan litteän hahmon alueen staattiseksi momentiksi suhteessa akseliin, miten se lasketaan ja mikä mitta sillä on?

Kuinka määrittää alueen painopisteen sijainti, jos sen yksittäisten osien painopisteiden sijainti tunnetaan?

Mitä apulauseita käytetään painopisteen sijainnin määrittämiseen?

Kyky pysyä tasapainossa ilman ponnistuksia on erittäin tärkeä tehokkaalle meditaatiolle, joogalle, qigongille ja myös vatsatanssille. Tämä on ensimmäinen vaatimus, jonka aloittelija tämäntyyppisessä toiminnassa kohtaa, ja yksi syy, miksi on vaikea ottaa ensimmäisiä askeleita ilman ohjaajaa. Kysymys, joka viittaa siihen, että henkilö ei tiedä painopistettään, voi näyttää hieman erilaiselta. Esimerkiksi qigongissa henkilö kysyy, kuinka olla rento ja silti suorittaa liikkeitä seisten, aloitteleva itämainen tanssija ei ymmärrä kuinka erottaa ja koordinoida kehon ala- ja yläosien liikkeitä, ja molemmissa tapauksissa ihmiset ylikuormittaa ja usein menettävät tasapainonsa. Heidän liikkeensä ovat epävarmoja, kömpelöitä.

Siksi on tärkeää ymmärtää, miten oma painopiste löytyy itse, tämä vaatii sekä henkistä työtä että taitoa, mutta ajan myötä taito siirtyy vaistomaiselle tasolle.

Mitä on tehtävä, jotta lihakset eivät rasittaisi ja samalla ei käytetä ulkoisia tukia. Vastaus on ilmeinen, sinun on siirrettävä tukea sisäänpäin. Tarkemmin sanottuna luota ehdolliseen sisäiseen akseliin. Mihin tämä akseli menee? Painopisteen käsite on ehdollinen, mutta siitä huolimatta sitä käytetään fysiikassa. Siellä se on tapana määritellä resultanttien painovoimavoimien sovelluspisteeksi. Resultantti painovoima on kaikkien painovoimavoimien kokonaisuus, kun otetaan huomioon niiden toiminnan suunta.

Onko vaikeaa tähän asti? Varaa kärsivällisyyttä.

Toisin sanoen etsimme pistettä kehostamme, jonka avulla emme putoa taistelematta tietoisesti painovoimaa vastaan. Tämä tarkoittaa, että maan painovoima on suunnattava niin, että se konvergoi muiden vaikuttavien voimien kanssa jossain kehomme keskellä.

Tällainen voimien suunta luo ehdollisen akselin kehomme keskelle, pystysuoran pinnan, tämä on painopisteen pystysuora. Se kehon osa, jolla lepäämme maata vasten, on jalanjäljemme (lepäämme jaloillamme maata vasten). Paikassa, jossa tämä pystysuora lepää sitä pintaa vasten, jolla seisomme, eli me lepäämme maata vasten, tämä on painopistepiste jalanjäljen sisällä. Jos pystysuora siirtyy tästä paikasta, menetämme tasapainomme ja putoamme. Mitä suurempi itse tukialue, sitä helpompi meidän on pysyä lähellä sen keskustaa, ja siksi otamme kaikki vaistomaisesti pitkän askeleen seisoessaan epävakaalla pinnalla. Eli tukialue ei ole vain jalat itse, vaan myös niiden välinen tila.

On myös tärkeää tietää, että tukialueen alueen leveys vaikuttaa enemmän kuin pituus. Ihmisen tapauksessa tämä tarkoittaa, että putoamme todennäköisemmin kyljellemme kuin taaksepäin ja vielä enemmän eteenpäin. Siksi juostessa meidän on vaikeampi säilyttää tasapaino, sama voidaan sanoa kantapäästä. Mutta leveissä, vakaissa kengissä sitä on päinvastoin helpompi vastustaa, jopa helpompaa kuin täysin paljain jaloin. Alussa mainitut toiminnot edellyttävät kuitenkin erittäin pehmeitä, kevyitä jalkineita tai ei ollenkaan. Siksi emme voi auttaa itseämme kenkien kanssa.

Joten on erittäin tärkeää löytää jalkasi pystyviivan keskipiste. Yleensä se ei sijaitse jalan keskellä, kuten jotkut automaattisesti olettavat, vaan lähempänä kantapäätä, jossain jalan keskikohdan puolivälissä kantapäähän.
Mutta siinä ei vielä kaikki.

Painopisteen pystysuoran linjan lisäksi on myös vaakasuuntainen, sekä erillinen raajoille.
Naisten ja miesten vaakaviiva kulkee hieman eri tavalla.

Edessä, naisilla se kulkee alempana ja miehillä korkeammalta. Miehillä se kulkee jossain 4-5 sormea ​​navan alapuolella ja naisilla noin 10 sormea. Naaraslinjan takana kulkee melkein koopchik, ja uroslinja on noin viisi sormea ​​sitä korkeampi. Lisäksi vakauden varmistamiseksi meditaation aikana on tärkeää kiinnittää huomiota polven painopisteen pelkkään linjaan. Se sijaitsee hieman luun yläpuolella (sääri), mutta kaksi tai kolme sormea ​​ruston alapuolella.

Meditaation aikana, kuten myös vatsatanssin aikana, ei ole kovin hyvä levittää jalkoja leveäksi, suurin leveys vastaa yleensä hartioiden leveyttä.

Siksi sinun on autettava itseäsi hieman polvillasi yrittäen rakentaa pystyakselin mahdollisimman suoraksi. Seiso peilin edessä ja löydä itsestäsi kaikki kuvatut kohdat. Aseta jalat hartioiden leveydelle. Rentouta jalkojen ja vartalon lihakset. Suorista sitten selkäsi rasittamatta kehoasi, rentouta jalkojasi hieman taivuttamalla polviasi. Kuvittele kolme pystysuoraa viivaa, joista jokainen kulkee vastaavassa pisteessä vartalon takaosassa, sen edessä ja polvien ympärillä. Yritä järjestää pisteet siten, että vartalon etuakseli on noin puolivälissä selän ja polven akselin välissä. Tässä tapauksessa polvia ei saa taivuttaa niin, että ne ylittävät varpaan, vaan niiden tulee olla vain hieman koukussa ja hyvin rentoina. Mieluiten painopisteen yläpuolella sen tukialueen sisällä, jonka löysimme jalassa. Samaan aikaan kädet voidaan asettaa vapaasti jumalien päälle tai laittaa kämmenet lantiolle.

Mistä tiedät, että olet löytänyt painopisteesi?

Tunnet lievän heilumisen, mutta samalla tiedät varmasti, että et putoa.