Neliön trinomi. Neliönmuotoinen trinomi Video-opetusohjelmat paraabelilla
Neliön trinomiaalinen juoni
2019-04-19
Neliön trinomi
Kutsuimme koko toisen asteen rationaalista funktiota neliötrinomiksi:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
missä $a \neq 0$. Osoittakaamme, että neliömäisen trinomin kuvaaja on paraabeli, joka saadaan yhdensuuntaisilla siirroilla (koordinaattiakselien suunnassa) paraabelista $y = ax^2$. Tätä varten vähennämme lausekkeen (1) yksinkertaisilla identtisillä muunnoksilla muotoon
$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)
Vastaavat muunnokset, jotka on kirjoitettu alla, tunnetaan nimellä "tarkka neliövalinta":
$y = x^2 + bx + c = a \vasen (x^2 + \frac(b)(a) x \oikea) + c = a \vasen (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \oikea) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")
Olemme vähentäneet neliötrinomin muotoon (2); jossa
$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$
(Näitä lausekkeita ei pidä muistaa, vaan on kätevämpää suorittaa trinomin (1) muunnos muotoon (2) joka kerta suoraan).
Nyt on selvää, että trinomin (1) kuvaaja on paraabeli, joka on yhtä suuri kuin paraabeli $y = ax^2$ ja saatu siirtämällä paraabelia $y = ax^2$ koordinaattiakselien suuntiin $\ alfa$ ja $\beta$ (ottaen huomioon merkit $\alpha$ ja $\beta$). Tämän paraabelin kärki sijoitetaan pisteeseen $(- \alpha, \beta)$, sen akseli on suora $x = - \alpha$. Jos $a > 0$, kärkipiste on paraabelin alin piste, kun $a
Tutkitaan nyt neliötrinomia, eli selvitetään sen ominaisuudet riippuen sen lausekkeen (1) kertoimien $a, b, c$ numeerisista arvoista.
Merkitään yhtälön (2") suuruutta $b^2-4ac$ $d$:lla:
$y = a \vasen (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ kutsutaan neliötrinomin diskriminantiksi. Trinomin (1) ominaisuudet (ja sen graafin sijainti) määräytyvät diskriminantin $d$ ja johtavan kertoimen $a$ etumerkeillä.
1) $a > 0, d 0$; koska $a > 0$, niin kaavio sijaitsee yläpuolella $O^( \prime)$; se sijaitsee ylemmässä puolitasossa ($y > 0$ - kuva a.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0 $. Vertex $O^( \prime)$ on $Ox$-akselin alapuolella, paraabeli leikkaa $Ox$-akselin kahdessa pisteessä $x_1, x_2$ (kuva c.).
4) $a 0$. Vertex $O^( \prime)$ on $Ox$-akselin yläpuolella, paraabeli leikkaa jälleen $Ox$-akselin kahdessa pisteessä $x_1, x_2$ (kuva d).
5) $a > 0, d = 0$. Piste sijaitsee itse $Ox$-akselilla, paraabeli sijaitsee ylemmällä puolitasolla (kuva e).
6) $a
Johtopäätökset. Jos $d 0$) tai pienempi ($a
Jos $d > 0$, niin funktio on vuorotteleva (kaavio on osittain $Ox$-akselin alapuolella, osittain yläpuolella). Neliötrinomilla, jonka $d > 0$ on kaksi juuria (nollaa) $x_1, x_2$. Arvolla $a > 0$ se on negatiivinen juurien välissä (kuva c) ja positiivinen tämän välin ulkopuolella. $a:lle
Määritelmä
paraabeli on toisen asteen funktio $y = ax^(2) + bx + c$, jossa $a \neq 0$.
Funktion $y = x^2$ kuvaaja.
Funktion $y = x^2$ kaavion kaavamaista rakentamista varten löydämme useita pisteitä, jotka täyttävät tämän yhtälön. Mukavuuden vuoksi kirjoitamme näiden pisteiden koordinaatit taulukon muodossa:
Kuvaaja funktiosta $y = ax^2$.
Jos kerroin $a > 0$, niin kaavio $y = ax^2$ saadaan kaaviosta $y = x^2$ joko pystylaajennuksella (jos $a > 1$) tai puristamalla kohti $x. $-akseli (0 dollarilla< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
Jos $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = - x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
|
Neliöfunktion kuvaaja.
Luodaksesi kuvaaja funktiosta $y = ax^2 + bx + c$, sinun on valittava täysi neliö kolmiosaisesta neliöstä $ax^2 + bx + c$, eli esitettävä se muodossa $a (x - x_0)^2 + y_0$ . Funktion $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ kuvaaja saadaan vastaavasta kaaviosta $y = ax^2$ siirtämällä $x_0$ $x$-akselia pitkin ja $y_0$ pitkin $y$-akseli. Tämän seurauksena piste $(0;0)$ siirtyy pisteeseen $(x_0;y_0)$.
Määritelmä
huippu paraabeli $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ on piste, jonka koordinaatit $(x_0;y_0)$.
Muodostetaan paraabeli $y = 2x^2 - 4x - 6$. Valitsemalla koko neliön, saamme $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Piirretään $y = 2x^2$ | Siirrä sitä oikealle numerolla 1 | Ja alas 8 |
|
|
|
Tuloksena on paraabeli, jonka kärkipiste on pisteessä $(1;-8)$.
Neliöfunktion kaavio $y = ax^2 + bx + c$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0; c)$ ja $x$-akselin pisteissä $(x_(1,2) ;0)$, jossa $ x_(1,2)$ ovat toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ juuria (lisäksi, jos yhtälöllä ei ole juuria, vastaava paraabeli ei leikkaa $x$ akseli).
Esimerkiksi paraabeli $y = 2x^2 - 4x - 6$ leikkaa akselit pisteissä $(0; -6)$, $(-1; 0)$ ja $(3; 0)$.
Alkuhuomautuksia ja yksinkertaisia esimerkkejä
Esimerkki 1. Mille a:n arvoille yhtälöllä ax 2 + 2x + 1 = 0 on kaksi eri juuria?
Ratkaisu.
Tämä yhtälö on neliöllinen suhteessa a:n muuttujaan x№ 0 ja sillä on erilliset juuret, kun se on diskriminantti
eli a< 1.
Lisäksi arvolle a = 0 saadaan yhtälö 2x + 1 = 0, jolla on yksi juuri.
Siten a О (– Ґ ; 0) JA (0; 1).
Sääntö 1 Jos toisen asteen polynomin kerroin kohdassa x 2 sisältää parametrin, on tarpeen analysoida tapaus, jossa se katoaa.
Esimerkki 2. Yhtälöllä ax 2 + 8x + c = 0 on yksi juuri yhtä suuri kuin 1. Mitä ovat a ja c?
Ratkaisu. Aloitetaan tehtävän ratkaiseminen erikoistapauksesta a = 0, yhtälön muoto on 8x + c = 0. Tällä lineaarisella yhtälöllä on ratkaisu x 0 = 1 kun c = - 8.
Ei. 0 toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri jos 
Lisäksi korvaamalla yhtälöön juuren x 0 \u003d 1, saamme + 8 + c \u003d 0.
Ratkaisemalla kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän saadaan a = c = – 4.
Lause 1.
Vähennetylle neliötrinomille y = x 2 + px + q (ehdon p 2 allaі
4q)
juurien summa x 1 + x 2 \u003d - p, juurten tulo x 1 x 2 \u003d q, juurten ero on 
ja juurien neliöiden summa x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q.
Lause 2.
Neliötrinomille y = ax 2 + bx + c, jonka juuret ovat x 1 ja x 2, meillä on
hajottelu ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), trinomille, jolla on yksi juuri x 0 - hajonta
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 0) 2.
Kommentti. Usein toisen asteen yhtälöllä, jonka diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla ja jolla on vastaavasti yksi juuri, sanotaan olevan kaksi yhteneväistä juuria (?). Tämä liittyy lauseessa 2 annettuun polynomin tekijöihin.(Tässä tapauksessa on tarpeen puhua ja ymmärtää oikein "yksi moninkertaisuuden juuret kaksi." - Noin toim.)
Kiinnitämme huomiota tähän hienovaraisuuteen ja nostamme esiin tapauksen, jossa monikertaisuus 2 on yksijuuri.
Esimerkki 3. Määritä yhtälössä x 2 + ax + 12 = 0 a siten, että yhtälön juurien erotus on yksi.
Ratkaisu. Juuren ero 
josta a = ± 7.
Esimerkki 4. Millä a on yhtälön 2x 2 + 4x + a = 0 juurien neliöiden summa 6?
Ratkaisu. Kirjoitamme yhtälön muotoon 
mistä x 1 2 + x 2 2 = 4 - a = 6 ja a = - 2.
Esimerkki 5. Ratkaise kaikelle a:lle yhtälö ax 2 - 2x + 4 = 0.
Ratkaisu. Jos a = 0, niin x = 2. Jos a№
0, yhtälöstä tulee neliö. Sen syrjintä
on yhtä suuri kuin D = 4 – 16a. Jos D< 0, т. е. a > ,
yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Jos D = 0, eli a = ,
x = 4. Jos D > 0, eli a< ,
yhtälöllä on kaksi juuria
Neliötrinomin juurien sijainti
Neliöyhtälön kuvaaja on paraabeli, ja toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat tämän paraabelin ja Ox-akselin leikkauspisteiden abskissoja. Tämän jakson kaikkien ongelmien ratkaisemisen perustana on tutkia tiettyjen ominaisuuksien omaavien paraabelien sijaintia koordinaattitasolla.
Esimerkki 6. Millä a yhtälön x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 juurilla on eri etumerkit?
Liuos (kuva 1).
Neliöyhtälöllä joko ei ole ratkaisuja (kaavio on D-tyypin paraabeli) tai siinä on yksi tai kaksi positiivista juuria (paraabeli C), tai yksi tai kaksi negatiivista juuria (paraabeli A), tai siinä on erimerkkiset juuret (paraabeli) B).
On helppo nähdä, että viimeiselle paraabelityypille, toisin kuin muille, on ominaista se, että f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .
Tämä ratkaisu sallii yleistyksen, jonka muotoilemme seuraavan säännön mukaisesti.
Sääntö 2. Jotta yhtälö ax 2 + bx + c = 0
sillä on kaksi erilaista juurta x 1 ja x 2 siten, että x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.
Esimerkki 7. Millä a yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 on saman merkin kaksi eri juurta?
Ratkaisu. Olemme kiinnostuneita A- ja C-tyypin paraboleista (ks. kuva 1). Niille on ominaista
mistä a О (- 6; - 2) JA (3; + Ґ ).
Esimerkki 8. Mille a yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 on kaksi erilaista positiivista juuria?
Ratkaisu. Olemme kiinnostuneita tyypin C paraboleista kuvassa 1. 1.
Jotta yhtälöllä olisi juuret, vaadimme
Koska yhtälön molempien juurien on oltava ehdon suhteen positiivisia, niin juurien välissä olevan paraabelin kärjen abskissa on positiivinen: x 0 \u003d a\u003e 0.
Vertex-ordinaatta f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, niin tutkittavan funktion jatkuvuudesta johtuen on olemassa piste x 1 NOIN (0; x 0) siten, että f(x 1) = 0. Ilmeisesti tämä on yhtälön pienempi juuri.
Joten f(0) = a 2 - a - 6 > 0, ja keräämällä kaikki ehdot yhteen, saamme järjestelmän
ratkaisulla a 0 (3; + Ґ ).
Esimerkki 9. Minkä a:n yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 on kaksi erilaista negatiivista juuria?
Ratkaisu. Tutkittuaan kuvan 1 tyypin A paraabelit. 1, saamme järjestelmän
mistä a О (– 6; – 2).
Yleistämme edellisten ongelmien ratkaisun seuraavan säännön muodossa.
Sääntö 3. Jotta yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 olisi kaksi erilaista juurta x 1 ja x 2, joista kumpikin on suurempi (pienempi) kuin M, on välttämätöntä ja riittävää, että
Esimerkki 10. Funktio f(x) saadaan kaavalla
Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä f(x) = 0 on vähintään yksi ratkaisu.
Ratkaisu. Kaikki mahdolliset ratkaisut tähän yhtälöön saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisuina
x 2 - (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0
lisäehdolla, että vähintään yksi (ilmeisesti suurempi) juuri x 2 ja a.
Luonnollisesti, jotta yhtälöllä olisi juuret, sen on oltava = - 5 (a + 2) і
0,
mistä Ј – 2.
Valitun yhtälön vasemman puolen kuvaaja on paraabeli, jonka kärjen abskissa on x 0 = 2a + 7. Tehtävän ratkaisun antaa kaksi erilaista paraabelia (kuva 2).
A: x 0 і a, josta a і – 7. Tässä tapauksessa polynomin x 2 suurempi juuri i x 0 i a.
B:x0< a, f(a)
Ј
0, mistä 
.
Tässä tapauksessa myös polynomin x 2 suurempi juuri ja a.
Lopulta 
.
Kolme ratkaisua yhdelle epätasa-arvolle
Esimerkki 11. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille epäyhtälö x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 > 0
suoritettu:
1) kaikille x:n arvoille;
2) kaikille x:n positiivisille arvoille;
3) kaikille x:n arvoille O [- 1; 1].
Ratkaisu.
Ensimmäinen tapa.
1) Ilmeisesti tämä epäyhtälö pätee kaikille x:ille, kun diskriminantti on negatiivinen, ts.
\u003d a 2 - (a 2 + 2a - 3) \u003d - 2a + 3< 0,
mistä >.
2) Ymmärtääksemme paremmin, mitä ongelmatilanteessa vaaditaan, sovelletaan yksinkertaista temppua: piirretään paraabelit koordinaattitasolle ja sitten otetaan ja suljetaan Oy-akselin suhteen vasen puolitaso. Sen osan paraabelista, joka jää näkyviin, tulee olla Ox-akselin yläpuolella.
Ongelman ehto täyttyy kahdessa tapauksessa (katso kuva 3):
< 0, откуда a > ;
B: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret (ehkä yksi, mutta kaksinkertainen) ovat origosta vasemmalla. Säännön 3 mukaan tämä ehto vastaa epäyhtälöjärjestelmää D i 0, x 0 j 0 ja f(0) i 0.
Tätä järjestelmää ratkaistaessa ensimmäinen epäyhtälö voidaan kuitenkin jättää pois, koska vaikka jokin arvo a ei täytä ehtoa Dі 0, niin se putoaa automaattisesti pisteen A ratkaisuun. Siten ratkaisemme järjestelmän
mistä Ј – 3.
Yhdistämällä kohteiden A ja B ratkaisut saadaan
vastaus: 
3) Ongelman ehto täyttyy kolmessa tapauksessa (katso kuva 4):
A: funktion y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 kuvaaja on Ox-akselin yläpuolella, eli D< 0, откуда a > ;
B: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret (ehkä yksi monikerroksista 2) ovat vasemmalla - 1. Tämä ehto on ekvivalentti, kuten tiedämme säännöstä 3, järjestelmää epätasa-arvo Dі 0,x0< – 1, f(– 1) > 0;
C: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret ovat arvon 1 oikealla puolella.
Tämä ehto vastaa D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.
Kohdissa B ja C sekä edellisen tehtävän ratkaisussa voidaan kuitenkin jättää erottajaan liittyvä eriarvoisuus pois.
Vastaavasti saamme kaksi epätasa-arvojärjestelmää
Kaikkien tapausten tarkastelun jälkeen saamme tuloksen: a >
kohdassa
in C.
Vastaus ongelmaan on näiden kolmen joukon yhdistäminen.
Toinen tapa. Jotta tehtävän kunkin kolmen pisteen ehto täyttyy, funktion pienin arvo
y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 kussakin vastaavassa raossa on oltava positiivinen.
1) Paraabelin y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 huippu on pisteessä (a; 2a - 3), joten funktion pienin arvo koko reaaliviivalla on 2a - 3, ja >.
2) puoliakselilla x i 0 funktion pienin arvo on f(0) = a 2 + 2a – 3 jos a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a
і
0. Analysoimalla molemmat tapaukset saadaan 
3) Segmentin pienin [- 1; 1] funktion arvo on
Koska pienimmän arvon on oltava positiivinen, saadaan epäyhtälöjärjestelmät
Näiden kolmen järjestelmän ratkaisu on sarja
Kolmas tapa. 1) Paraabelin yläosa y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3
on pisteessä (a; 2a – 3). Piirretään koordinaattitasolle joukko, jonka muodostavat kaikkien eri a:n paraabelien kärjet (kuva 5).
Tämä on suora y = 2x – 3. Muista, että tämän suoran jokainen piste vastaa omaa parametriarvoaan ja tämän suoran jokaisesta pisteestä "tulee esiin" parametrin annettua arvoa vastaava paraabeli. Paraabelit, jotka ovat kokonaan Ox-akselin yläpuolella, ovat ominaisia ehdolla 2a – 3 > 0.
2) Tämän kappaleen ratkaisut ovat kaikki ensimmäisen kappaleen ratkaisuja ja lisäksi paraabelit, joille a on negatiivinen ja f(0) = a 2 + 2a - 3і 0.
3) Kuvasta 5, että olemme kiinnostuneita paraabeleista, joille joko a on negatiivinen ja f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
tai a on positiivinen ja f(1) = a 2 – 2 > 0.
Yhtälöt ja epäyhtälöt pelkistyvät neliöiksi
Esimerkki 12. Mille a:n arvoille yhtälöllä 2x 4 - 2ax 2 + a 2 - 2 = 0 ei ole ratkaisuja?
Ratkaisu. Korvaamalla y \u003d x 2, saamme toisen asteen yhtälön f (y) \u003d 2y 2 - 2ay + a 2 - 2 \u003d 0.
Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.
Nämä ehdot voidaan kirjoittaa joukkona
missä 
Esimerkki 13. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö cos x sin 2x = asin 3x.
Ratkaisu. Koska 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x ja sin 3x = 3sin x - 4sin 3 x,
silloin yhtälö kirjoitetaan muodossa sin x (sin 2 x (4a - 2) - (3a - 2)) = 0.
Siten saamme ratkaisut x = p n, n O Z mille tahansa a. Yhtälö 
on ratkaisuja 
ei ole sama kuin ensimmäisen yhtälön ratkaisut, vain ehdolla 
Viimeiset rajoitukset ovat vastaavat
Vastaus: x \u003d p n, n O Z mikä tahansa a; Sitä paitsi,
Esimerkki 14. Etsi kaikki parametrin a arvot, joista jokaiselle on epäyhtälö
a 2 + 2a - sin 2 x - 2acos x > 2 pätee mille tahansa luvulle x.
Ratkaisu. Muunnetaan epäyhtälö muotoon cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0
ja tee muutos t = cos x. On tärkeää huomata, että parametri t vaihtelee välillä -1:stä 1:een, joten ongelma muotoillaan uudelleen seuraavasti: etsi kaikki sellainen, että
t 2 - 2at + a 2 + 2a - 3 > 0
on tyytyväinen kaikkiin t NOIN [-1; 1]. Olemme jo ratkaisseet tämän ongelman aiemmin.
Esimerkki 15. Määritä, mille yhtälön log 3 (9 x + 9a 3) = x arvoille on ratkaisuja, ja etsi ne.
Ratkaisu. Muunnetaan yhtälö muotoon 9 x - 3 x + 9a 3 = 0
ja kun tehdään muutos y = 3 x , saadaan y 2 – y + 9a 3 = 0.
Jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Kun syrjivä
D \u003d 1 - 36a 3 \u003d 0, yhtälöllä on yksi juuri,
ja x = – log 3 2. Lopuksi, kun diskriminantti on positiivinen, ts.
alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri 
,
ja jos lisäksi lauseke 1 on positiivinen,
niin yhtälöllä on toinen juuri 
.
Joten vihdoin saamme 
,
ei ole ratkaisuja jäljellä oleviin a.
Esimerkki 16. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.
Ratkaisu. Koska
kirjoita yhtälö uudelleen muotoon sin 2 x - 2sin x - 2a - 2 = 0.
Olkoon y = sin 2x, niin y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).
Yhtälön vasemmalla puolella olevan funktion kuvaaja on paraabeli, jonka kärkipiste on abskissa y 0 = 1; funktion arvo pisteessä y = – 1 on yhtä suuri kuin 1 – 2a; yhtälön diskriminantti on 8a + 12. Tämä tarkoittaa, että yhtälön y 2 - 2y - 2a - 2 = 0 suurempi juuri y 2, vaikka se olisi olemassa, on suurempi kuin 1 ja vastaava yhtälö sin 2x = y 2:lla ei ole ratkaisuja. 3. Mille a:n arvoille yhtälöllä 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 on vähintään yksi juuri?
4. Yhtälöllä ax 2 + bx + 5 = 0 on yksi juuri yhtä suuri kuin 1. Mitä ovat a ja b?
5. Millä parametrin a arvoilla toisen asteen yhtälön 5x 2 - 7x + a = 0 juuret liittyvät 2:een 5:een?
6. Määritä yhtälössä ax 2 + 8x + 3 = 0 a siten, että yhtälön juurien erotus on yksi.
7. Sillä mikä a on yhtälön x 2 - 2ax + 2(a + 1) = 0 juurien neliöiden summa 20?
8. Mille b:lle ja c:lle yhtälöllä c + bx - 2x 2 = 0 on yksi positiivinen ja yksi negatiivinen juuri?
9. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälön x 2 - (a + 1)x + 2 = 0 juuri on suurempi kuin a ja toinen pienempi kuin a.
10. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 on kaksi saman merkin juurta.
11. Millä a:n arvoilla kaikki yhtälön (a - 3)x 2 - 2ax + 6a = 0 tuloksena olevat juuret ovat positiivisia?
12. Joille a ovat yhtälön (1 + a)x 2 - 3ax + 4a = 0 kaikki tuloksena olevat juuret suurempia kuin 1?
13. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälön x 2 + x + a = 0 molemmat eri juuret ovat suurempia kuin a.
14. Millä a:n arvoilla yhtälön 4x 2 - 2x + a \u003d 0 molemmat juuret ovat -1:n ja 1:n sisällä?
15. Mille a:n arvoille yhtälöllä x 2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0 on vähintään yksi positiivinen juuri?
16. Funktio f(x) saadaan kaavalla
Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä f(x) = 0 on vähintään yksi ratkaisu.
17. Millä a on epäyhtälö (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 totta kaikille x:ille?
18. Millä parametrin a arvoilla epäyhtälö ax 2 + 2x > 1 – 3a pätee kaikille positiivisille x-arvoille?
19. Mille a:n arvoille yhtälöllä x 4 + (1 - 2a)x 2 + a 2 - 1 \u003d 0 ei ole ratkaisuja?
20. Mille parametrin a arvoille yhtälöllä 2x 4 - 2ax 2 + a2 - 2 = 0 on yksi tai kaksi ratkaisua?
21. Ratkaise jokaiselle a:n arvolle yhtälö acos x cos 2x = cos 3x.
22. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille jokaiselle epäyhtälö cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2
– 4 выполняется для любого числа x.
23. Ratkaise kaikelle a:lle yhtälö log 2 (4 x + a) = x.
24. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö sin 2 x + asin 2 2x = sin.
Oppitunti: kuinka rakentaa paraabeli tai neliöfunktio?
TEOREETTINEN OSA
Paraabeli on funktion kuvaaja, joka kuvataan kaavalla ax 2 +bx+c=0.
Paraabelin rakentamiseksi sinun on noudatettava yksinkertaista toiminta-algoritmia:
1) Paraabelikaava y=ax 2 +bx+c,
Jos a>0 sitten paraabelin haarat suunnataan ylös,
ja sitten paraabelin haarat suunnataan alas.
vapaa jäsen c tämä piste leikkaa paraabelin OY-akselin kanssa;
2) , se löytyy kaavasta x=(-b)/2a, korvaamme löydetyn x:n paraabeliyhtälöön ja löydämme y;
3)Toimintojen nollia eli toisin sanoen paraabelin ja OX-akselin leikkauspisteet, niitä kutsutaan myös yhtälön juuriksi. Löytääksemme juuret, yhtälö on 0 ax2+bx+c=0;
Yhtälötyypit:
a) Täydellinen toisen asteen yhtälö on ax2+bx+c=0 ja sen ratkaisee diskriminantti;
b) Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö ax2+bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaan:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 ja ax+b=0;
c) Muodon epätäydellinen toisen asteen yhtälö ax2+c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntematon toiselle puolelle ja tunnettu toiselle. x =±√(c/a);
4) Etsi lisäpisteitä funktion rakentamiseksi.
KÄYTÄNNÖN OSA
Ja niin nyt, esimerkin avulla, analysoimme kaiken toimilla:
Esimerkki 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=3. Paraabelin haarat katsovat ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 yläosa on pisteessä (-2;-1)
Etsi yhtälön x 2 +4x+3=0 juuret
Löydämme juuret diskriminantin perusteella
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Otetaan joitain mielivaltaisia pisteitä, jotka ovat lähellä huippua x=-2
x -4 -3 -1 0
v 3 0 0 3
Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d x 2 + 4x + 3 arvot
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x \u003d -2 suhteen
Esimerkki 2:
y=-x 2 +4x
c=0 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=0. Paraabelin haarat katsovat alaspäin, koska a=-1 -1 Etsi yhtälön -x 2 +4x=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaksi.
x(-x+4)=0, x=0 ja x=4.
Otetaan joitain mielivaltaisia pisteitä, jotka ovat lähellä kärkeä x=2
x 0 1 3 4
v 0 3 3 0
Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d -x 2 +4x arvot
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2 +4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x \u003d 2 suhteen
Esimerkki #3
y = x 2 -4
c=4 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=4. Paraabelin haarat katsovat ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 kärkipiste on pisteessä (0;-4) )
Etsi yhtälön x 2 -4=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntematon toiselle puolelle ja tunnettu toiselle. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2
Otetaan joitain mielivaltaisia pisteitä, jotka ovat lähellä huippua x=0
x -2 -1 1 2
v 0 -3 -3 0
Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d x 2 -4 arvot
y = (-2) 2 -4 = 4-4 = 0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y = 1 2 - 4 = 1 - 4 = -3
y = 2 2 - 4 = 4 - 4 = 0
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x=0 suhteen
Tilaa YOUTUBE-kanavalle pysyäksesi ajan tasalla kaikista uutisista ja valmistautuaksemme kokeisiin.
