Kaksi suoraa rinnakkaista kolmas todisteita. Kahden suoran linjan rinnakkaisuuden merkkejä. Rinnakkaisten suorien linjojen ominaisuudet. Suunnittelu - Merkit ja rinnakkaisuuden olosuhteet

Kahden ohjauksen rinnakkaisuus voidaan osoittaa teorian perusteella, jonka mukaan kaksi kohtisuorasta suoritetaan suhteessa yhteen suoralle linjalle on yhdensuuntainen. On olemassa tiettyjä rinnakkaisuutta suoraan - on kolme kolmesta kolmesta, ja kaikki me näyttävät tarkemmin.

Rinnakkaisuuden ensimmäinen merkki

Suora rinnakkain, jos niiden kolmannen suoran, muodostettujen sisäisten kulmien leikkaus on yhtä suuri.

Oletetaan, kun ylittyvät suorat viivat AV ja CD, EF: n suora viiva muodostettiin / 1 ja / 2. Ne ovat yhtä suuria, koska suorat linjat EF kulkee yhden bias suhteessa toiseen jäljellä olevaan suoraan. Linjojen risteyksessä asetetaan L - osoittimme EF-osaston segmentiksi. Minusta se keskellä ja laittaa piste O (Damn 189).

Suora AV jätä kohtisuorasta pisteestä O. Me kutsumme sitä ohmiksi. Jatkamme kohtisuorassa, kunnes se leikkaa suoralla CD: llä. Tämän seurauksena ensimmäinen suora AV on ehdottomasti kohtisuorassa MN: lle, mikä tarkoittaa, että CD_ | _mn, mutta tämä lausunto vaatii todisteita. Kohdan ja ristikkolinjan seurauksena olemme muodostaneet kaksi kolmiota. Yksi niistä on minun, toinen - NOK. Harkitse niitä tarkemmin. Suoran luokan 7 rinnakkaisuuden merkkejä

Nämä kolmiot ovat yhtä suuret, koska teoremin olosuhteiden mukaan / 1 \u003d / 2 ja kolmiojen rakentamisen mukaisesti, puoli OK \u003d OL. Kulma on ML \u003d / NOK, koska nämä ovat pystysuoria kulmia. Tästä seuraa, että sivu ja kaksi kulmaa sen vieressä yhden kolmioon vastaavasti, ovat yhtä suuria kuin sivu ja kaksi kulmaa sen vieressä, toinen kolmioista. Näin ollen kolmio on mol \u003d kolmiot ja siten kulma LM \u003d KNOn kulma, mutta tiedämme, että / lm suoraan, se tarkoittaa, että kno vastaava kulma on myös suora. Toisin sanoen onnistumme osoittamaan, että suora Mn, sekä suora AV että suora CD kohtisuora. Toisin sanoen AB ja CD suhteessa toisiinsa ovat yhdensuuntaisia. Meidän on tarpeen todistaa. Harkitse jäljellä olevia merkkejä suorista linjoista (luokka 7), jotka eroavat todistusmenetelmän ensimmäisestä ominaisuudesta.

Toinen rinnakkaismerkki

Suuntaisen sekunnin toisen merkkien mukaan meidän on osoitettava, että rinnakkaisen suorana AV- ja CD-suoran EF: n rinnakkaisessa suorassa EF: llä saadut kulmat ovat yhtä suuret. Siten kahden suoran, sekä ensimmäisen että toisen, rinnakkaisen rinnakkaisuuden merkit perustuvat kolmannen rivinsa risteyksessä saaduista kulmista. Hyväksymme, että / 3 \u003d / 2 ja kulma on 1 \u003d / 3, koska se on hänelle pystysuora. Siten ja / 2 on yhtä suuri kuin kulma1, mutta on pidettävä mielessä, että molemmat kulma 1 että kulma 2 ovat sisäisiä ja inhiboivat makaavat kulmat. Näin ollen meidän on sovellettava tietojamme, nimittäin, että kaksi segmenttiä on rinnakkain, jos ne ovat suoraan suoraan koulutettuja, kun ne ovat risteyksissä, taustalla olevat kulmat ovat yhtä suuret. Näin odotimme, että AV || CD.

Olemme onnistuneet osoittamaan, että kahden kohtisuorassa yhden suoran linjan rinnakkaisuuden mukaan vastaavan teoreen mukaan suoraan suuntaisen rinnakkaisuuden merkki on ilmeinen.

Kolmas merkki rinnakkaisuus

On myös kolmas merkki rinnakkaisuudesta, joka osoittautuu yksipuolisten sisäisten kulmien määrä. Tällainen todistus suoraan yhdensuuntaisesta rinnakkaisuudesta antaa meille mahdollisuuden päätellä, että kaksi suoraa linjaa on yhdensuuntainen, jos kolmas suora, saadun yksipuolisten kulmien summa on 2D. Katso kuva 192.

Rinnakkainen - hyvin hyödyllinen omaisuus geometriaan. Todellisessa elämässä rinnakkaispuolet antavat sinulle mahdollisuuden luoda kauniita, symmetisiä asioita, miellyttävää silmään, joten geometria on aina tarvinnut keinoja tarkistaa tämä rinnakkainen. Rinnakkaisten suoraviivojen merkkejä puhumme tässä artikkelissa.

Määritelmä rinnakkaisuuden

Korostamme määritelmät, joita sinun on tiedettävä osoittamaan kahden suoran linjan rinnakkaisuuden merkkejä.

Suoraa kutsutaan rinnakkain, jos heillä ei ole risteyspisteitä. Lisäksi ratkaisuissa yleensä yhdensuuntaiset suorat linjat menevät yhdessä kiinnityslinjan kanssa.

Turvallista suoraa kutsutaan suoraan, mikä ylittää molemmat rinnakkain suorana. Tällöin muodostuu valehtelija, vastaavat ja yksipuoliset kulmat. Siellä on paria kulmia 1 ja 4, jotka sijaitsevat sängyn alla; 2 ja 3; 8 ja 6; 7 ja 5. sopivat 7 ja 2; 1 ja 6; 8 ja 4; 3 ja 5.

Yksipuolinen 1 ja 2; 7 ja 6; 8 ja 5; 3 ja 4.

Oikealla koristelulla on kirjoitettu: "Alhainen taustalla kulmat kaksi rinnakkaista suoraa linjaa A ja B ja peräkkäin C", koska kahdelle rinnakkaiselle suoralle viivalle voi olla ääretön sarja poistettavia eroja, joten on tarpeen määritellä millaista Mitä tarkoitat, tarkoitat.

Myös todisteena tarvitset ulkoisen kolmion teoremin, jossa todetaan, että kolmio ulkoinen kulma on yhtä suuri kuin kolmioon ei-negatiivisen kolmioon.

Merkkejä

Kaikki rinnakkaiset suorat linjat ovat sidoksissa kulmien ominaisuuksien tuntemukseen ja trianluoneen ulkoisesta kulmasta.

Kirjaudu 1.

Kaksi suoraa yhdensuuntaista, jos taustalla olevat kulmat ovat yhtä suuria.

Harkitse kaksi suoraa A: ta ja B. Alhaiset taustalla olevat kulmat 1 ja 4 ovat yhtä suuret. Oletetaan, että suorat viivat eivät ole yhdensuuntaisia. Tarkoittaa suoraa risteyspistettä M. Sitten muodostettu AVM: n kolmio, jossa on ulompi kulma. Ulompi kulma on yhtä suuri kuin kulmien 4 ja AVM: n määrä kuin negatiivinen sen ulkoisen kulman teoreen kanssa kolmiossa. Mutta se osoittautuu, että kulma 1 on enemmän kulmaa 4, ja tämä on ristiriidassa ongelman tilan kanssa, mikä tarkoittaa, että pisteitä M ei ole olemassa, suorat viivat eivät leikkaa, eli rinnakkain.

Kuva. 1. Piirustus todisteeseen.

Kirjaudu 2.

Kaksi suoraa yhdensuuntaista, jos yksikön vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

Harkitse kaksi suoraa A: ta ja B. Vastaavat kulmat 7 ja 2 ovat yhtä suuret. Kiinnitä huomiota kulmaan 3. Se on pystysuora kulmassa 7. Niinpä kulmat 7 ja 3 ovat yhtä suuret. Se tarkoittaa, että kulmat 3 ja 2 ovat myös yhtä suuret, koska<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Kuva. 2. Piirustus todisteeseen.

Kirjaudu 3.

Kaksi suoraa parallealia, jos yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Kuva. 3. Piirustus todisteeseen.

Harkitse kaksi suoraa A: ta ja B. Yksipuolisten kulmien 1 ja 2 summa on 180 astetta. Kiinnitä huomiota kulmiin 1 ja 7. Ne ovat vierekkäin. Toisin sanoen:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Aloita ensimmäisestä ilmaisusta toiseksi:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Mitä me tiedämme?

Pyrimme yksityiskohtiin, mitä kulmat saadaan rinnakkaisen suoran kolmannen rivin leikkauksessa, jaetaan ja yksityiskohtaisesti todiste kolmesta suoraviivojen rinnakkaisuudesta.

Testaa aiheesta

Artikkelin arviointi

Keskiarvoluokitus: 4.1. Saadut yhteenlaskut: 220.

Määritelmä 1.

Suora $ $ kutsutaan myynti Direct $ A $ ja $ B $, jos se ylittää ne kaksi pistettä.

Harkitse kaksi suoraa dollaria $ ja $ B $ ja pyydetty suora $ $.

Kun ne ovat risteyksistä, on kulmia, jotka nimeää numerot $ 1 $ 8 $.

Jokaisella näistä kulmista on nimi, jota usein on käytettävä matematiikassa:

couples Corners $ 3 $ ja $ 5 $, $ 4 $ ja $ 6 $ kutsutaan elävä valehtelu;
couples Corners $ 1 $ ja $ 5 $, $ 4 $ ja $ 8 $, $ 2 $ ja $ 6 $, $ 3 $ ja $ 7 $ kutsutaan vastaava;
couples Corners $ 4 $ ja $ 5 $, $ 5 $ ja $ 6 $ kutsutaan yksipuolinen.

Rinnakkaisuuden merkkejä suoraan

Teorem 1.

Tasa-arvoinen pari makaa kulmia suoraan $ ja $ b $ ja osa $ c $ ja $ sanoo, että Direct $ A $ ja $ B $ - rinnakkain:

Todiste.

Anna taustalla olevat kulmat suoraan $ ja $ b $ ja osa $ c $ ovat yhtä suuria: $ ∠1 \u003d ∠2 $.

Osoitamme, että $ a \\ rinnakkain B $.

Edellyttäen, että kulmat $ 1 $ ja 2 dollaria ovat suorat, saamme tämän suoraan $ A $ ja $ B $ ovat kohtisuorassa Direct $ AV $ ja siksi rinnakkain.

Edellyttäen, että nurkit $ 1 $ ja $ 2 $ eivät ole suorat, suorittavat pisteestä noin $ - segmentin keskikoko $ AV $, kohtisuorassa $ It $ Direct $ A $.

Suorassa $ B $ lykätä segmentti $ bh_1 \u003d ah $ ja viettää segmentin $ Oh_1 $. Me saamme kaksi yhtä suurta kolmiota $ yhden ja $ Oh_1 kahdella puolella ja kulma niiden välillä ($ ∠1 \u003d ∠2 $, $ \u003d ao $, $, $ bh_1 \u003d ah $), joten $ ∠3 \u003d ∠4 $ ja $ ∠ 5 \u003d ∠6 $. Koska $ ∠3 \u003d ∠4 $, sitten $ h_1 $ Point on $ - $ beam, joten $ h $, $ ja $ h_1 $ Point kuuluu yhteen suoralle linjalle. Koska $ ∠5 \u003d ∠6 $, sitten $ ∠6 \u003d 90 ^ (sirc) $. Siksi suora $ a $ ja $ b $ ovat kohtisuorassa Direct Direct $ hh_1 $ ovat yhdensuuntaisia. Teorem on osoitettu.

Teorem 2.

Direct $ ja $ B $ ja osa $ $ ja osa $ $ ja osa $ $ ja $ ja $ b $ - rinnakkain: rinnakkain:

jos $ ∠1 \u003d ∠2 $, sitten $ a \\ rinnakkain B $.

Todiste.

Anna vastaavien kulmien suoraan $ ja $ B $ ja osa $ c $ ovat yhtä suuria: $ ∠1 \u003d ∠2 $. Corners $ 2 $ ja $ 3 $ ovat vertikaalisia, joten $ ∠2 \u003d ∠3 $. Joten $ ∠1 \u003d ∠3 $. Koska Kulmat $ 1 $ ja $ 3 $ - valehtelija, sitten Direct $ A $ ja $ B $ ovat yhdensuuntaisia. Teorem on osoitettu.

Teorem 3.

Jos summa kaksi yksipuolinen kulma suoraan $ ja $ b $ ja osa $ c $ on $ 180 ^ (sirc) c $, sitten suoraan $ ja $ b $ - rinnakkain:

jos $ ∠1 + ∠4 \u003d 180 ^ (sirc) $, sitten $

Todiste.

Anna yksipuoliset kulmat Direct $ A $ ja $ B $ ja osio $ c $ summa antaa $ 180 ^ (sirc) $, esimerkiksi

$ ∠1 + ∠4 \u003d 180 ^ (sirc) $.

Couls $ 3 $ ja $ 4 $ ovat vierekkäisiä

$ ∠3 + ∠4 \u003d 180 ^ (sirc) $.

Se näkyy tasa-arvoista, jotka saadut, että perustana olevat kulmat $ ∠1 \u003d ∠3 $, josta seuraa, että suora $ A $ ja $ B $ ovat yhdensuuntaisia.

Teorem on osoitettu.

Tarkasteltavista ominaisuuksista suoranaisesti.

Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta

Esimerkki 1.

Risteyspiste jakaa segmentin $ AB $ ja $ CD $ puoliksi. Todista, että $ AC \\ rinnakka BD $.

Dano: $ AO \u003d OB $, $ Co \u003d OD $.

Todistaa: $ AC \\ Rinnakka BD $.

Todiste.

Ongelman kunnosta $ AO \u003d OB $, $, $, OD $ ja tasa-arvo pystysuora kulmat $ ∠1 \u003d ∠2 $ mukaan I-mu, merkki kolmiojen tasa-arvosta seuraa, että $ \\ BigtriangleP CoA \u003d \\ Bigtriangle DOB $. Siten $ ∠3 \u003d ∠4 $.

COGNES $ 3 $ ja $ 4 $ - valheita kahdessa Direct $ AC $ ja $ BD $ ja $ AB $. Sitten I-Th: n mukaan merkki Direct $ AC \\ Rinnakkain BD $ $. Lausunto on osoitettu.

Esimerkki 2.

Dan ANGLE $ ∠2 \u003d 45 ^ (sirn) $, ja $ ∠ $ 3 $ 3 kertaa enemmän kuin tämä kulma. Todista, että $ A \\ Rinnakka B $.

Dano: $ ∠2 \u003d 45 ^ (sirc) $, $ ∠7 \u003d 3∠2 $.

Todistaa: $ A \\ Rinnakka B $.

Todiste:

Etsi 7 $ $: n kulma-arvo:

$ ∠7 \u003d 3 \\ CDOT 45 ^ (sirc) \u003d 135 ^ (sirc) $.

Pystysuorat kulmat $ ∠5 \u003d ∠7 \u003d 135 ^ (sirc) $, $ ∠2 \u003d ∠4 \u003d 45 ^ (sirc) $.
Löydämme sisempien kulmien määrä $ ∠5 + ∠4 \u003d 135 ^ (sirc) +45 ^ (sirc) \u003d 180 ^ (sirc) $.

III: n mukaan merkki suoraan suoraan $ A \\ rinnakkain B $. Lausunto on osoitettu.

Esimerkki 3.

Dano: $ \\ BIGTRIANGEUP ABC \u003d \\ BIGTRIANGEUP ADB $.

Todistaa: $ AC \\ Rinnakkainen BD $, $ Ad \\ Rinnakka BC $.

Todiste:

Tarkasteltavana olevat kuvat ovat sivu $ AB $ - yleinen.

Koska $ ABC $ ja $ ADB $ ovat yhtä suuret, sitten $ Ad \u003d CB $, $ AC \u003d BD $, samoin kuin vastaavat kulmat ovat $ ∠1 \u003d ∠2 $, $ ∠3 \u003d ∠4 $, $ ∠ 5 \u003d ∠6 $.

Pari kulmien 3 $ ja $ 4 $ - valheita valehtelevat suoraan $ kaiuttimille $ ja $ BD $ ja vastaava osa $ AU $, Siksi I-Mu, merkki Direct $ AC \\ Rinnakkais BD $.

Corners of Corners of $ 5 ja $ 6 $ - Crossies makaa suoraan $ ja $ bc $ ja vastaava osa $ AB $, siksi I-Th: n mukaan merkki Direct $ Ad \\ Rinnakka BC $.

Tämä artikkeli koskee rinnakkaista suoraa ja suoraa yhdensuuntaisuutta. Aluksi rinnakkain suoraan tasossa ja avaruudessa annetaan, syötettiin esimerkkejä ja graafisia havaintoja rinnakkaisista suorista linjoista. Seuraavaksi purkautuvat suoran osan rinnakkaisuuden osien merkit ja olosuhteet. Päätelmät osoittavat yksilöllisten tehtävien ratkaisuja suoran rinnakkain, jotka suorittavat suoran linjan yhtälöt suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa ja kolmiulotteisessa tilassa.

Navigointi sivu.

Rinnakkaiset suorat perustiedot.

Määritelmä.

Kaksi suoraa tasoa kutsutaan rinnakkainJos heillä ei ole yhteisiä kohtia.

Määritelmä.

Kaksi suoraa kolmiulotteisessa tilassa kutsutaan rinnakkainJos ne ovat samassa tasossa ja niillä ei ole yhteisiä kohtia.

Huomioithan, että varaus ", jos ne sijaitsevat samassa tasossa" rinnakkaiseen suoraan avaruudessa on erittäin tärkeä. Selitä tämä hetki: kaksi suoraa kolmiulotteisessa tilassa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä eivätkä ne ole samassa tasossa, eivät ole yhdensuuntaisia, vaan ne ylittävät.

Seuraavassa on esimerkkejä rinnakkaisista suorista linjoista. Notebook-lehtien vastakkaiset reunat sijaitsevat rinnakkain suoriin linjoihin. Suora, jolla talon seinän taso ylittää katon ja lattian tason, ovat yhdensuuntaisia. Rautatiekiskoja tasaiselle maastolle voidaan myös pitää rinnakkaina suorana.

Osoittaa rinnakkain suoraa käyttöä symbolia "". Eli jos suora A ja B on yhdensuuntainen, voit tallentaa lyhyesti a b.

Huomaa: Jos suora A ja B ovat yhdensuuntaisia, voimme sanoa, että suora A on yhdensuuntainen suoraviivalla B ja myös se suoraan B on yhdensuuntainen ohjata A.

Let's äänestää lausunto, jolla on tärkeä rooli rinnakkaisten suorien linjojen tutkimuksessa koneessa: pisteen kautta, joka ei ole tällä suoralla, ainoa suora linja, yhdensuuntainen tämän kanssa. Tämä lausunto hyväksytään tosiasiaksi (ei voida todistaa planimetryn pohjalta akselilla), ja sitä kutsutaan rinnakkaisiksi suoriksi linjoiksi.

Tilan tapauksessa lause on kelvollinen: minkä tahansa tilan kautta, joka ei makaa tietyllä suoralla linjalla, ainoa suora viiva, yhdensuuntainen tämän kanssa. Tämä teorema on helposti osoittautunut edellä mainitun aksioomin rinnakkaisen suoran (todistus, jonka löydät geometrian oppikirjan 10-11, joka on määritelty kirjallisuuden artikkelin lopussa).

Tilan tapauksessa lause on kelvollinen: minkä tahansa tilan kautta, joka ei makaa tietyllä suoralla linjalla, ainoa suora viiva, yhdensuuntainen tämän kanssa. Tämä teorema on helposti osoittautunut käyttäen edellä mainittuja axiom rinnakkaisia \u200b\u200bsuoria viivoja.

Suuntaisen suoran ominaisuuksien ja rinnakkaisuuden olosuhteet.

Merkki suorasta rinnakkaisuudesta Se on riittävä ehto suoraan suoraan, eli tällainen edellytys, jonka toteuttaminen takaa suoranaisesti. Toisin sanoen tämän edellytyksen täytäntöönpano riittää todeta suorat suorat.

On myös välttämätöntä ja riittävästi olosuhteita suoraan tasaiselle tasolle ja kolmiulotteisessa tilassa.

Selitämme ilmaisun "välttämättömän ja riittävän yhdensuuntaisen yhdensuuntaisuuden merkitys".

Rinnakkaisuuden riittävällä tavalla olemme jo tajunneet. Ja mikä on suoran "välttämättömän rinnakkaisuuden edellytys"? Nimellä "välttämätön" on selvää, että tämän ehdon toteutus on välttämätöntä suoran rinnakkaisuuden kannalta. Toisin sanoen, jos välittömän rinnakkaisuuden vaadittu tila ei täyty, niin suorat viivat eivät ole yhdensuuntaisia. Tällä tavalla, vaadittu ja riittävä kunnossapito - Tämä edellytys, jonka toteutus on sekä tarpeellinen että riittävän suoraviivojen rinnakkaisuudesta. Tämä on toisaalta tämä merkki suorasta rinnakkaisuudesta, ja toisaalta tämä on kiinteistö, jolla on samansuuntainen suora.

Ennen suoran välttämättömän ja riittävän välttämättömän ja riittävän ehdon muotoilua on suositeltavaa muistuttaa useita apumäärityksiä.

Laulaa suoraan - Tämä on suora viiva, joka ylittää kukin kahteen määritellyn epämiellyttävän suoran rivin.

Kun ylität kaksi suoraa sekua, kahdeksan ei-verminated. Suoran osallistumisen yhdensuuntaisen järjestyksen tarpeellisen ja riittävän tilan sanamuodossa lED, vastaavasti ja yksipuoliset kulmat. Näytä ne piirustuksessa.

Lause.

Jos yksikkö ylittää kaksi suoraa tasossa, niin niiden rinnakkain on välttämätöntä ja tarpeeksi niin, että taustalla olevat kulmat ovat yhtä suuria tai vastaavat kulmat olivat yhtä suuret tai yksipuolisten kulmien summa oli 180 astetta.

Osoitamme tämän tarpeellisen kuvan tämän tarpeellisen ja riittävän yhdensuuntaisen kunnon suoraan tasossa.

Todisteet näistä rinnakkaisedellytyksistä suoraan löytyvät geometrian oppikirjoista 7 -9 luokalle.

Huomaa, että näitä ehtoja voidaan käyttää myös kolmiulotteisessa tilassa - tärkein asia on, että kaksi suoraa ja secant makaa samassa tasossa.

Annamme muutamia teoreita, joita käytetään usein suoran suoran rinnakkaisuuden todistuksessa.

Lause.

Jos kaksi suoraa linjaa tasossa ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Todiste tästä ominaisuudesta seuraa rinnakkaisen suoran aksiom.

Samankaltainen edellytys suoraan kolmiulotteisessa tilassa.

Lause.

Jos kaksi suoraa tilaan ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Tämän ominaisuuden todiste otetaan huomioon geometrian oppitunnilla 10. luokassa.

Havainnollisemme äänimerkkejä.

Annamme toisen teoreen, jonka avulla voit todistaa suoraan tasaiselle tasolle.

Lause.

Jos kaksi suoraa on kohtisuorassa kolmanneksi suoralle, ne ovat rinnakkain.

On samanlainen teoremia suoraan avaruudessa.

Lause.

Jos kaksi suoraa kolmiulotteisessa tilassa on kohtisuorassa yhteen tasoon, ne ovat rinnakkain.

Kutsen näitä teoreita vastaavia piirustuksia.

Kaikki edellä mainitut teoreet, merkit ja tarvittavat ja riittävät olosuhteet sopivat täydellisesti todisteisiin suorat geometriamenetelmät. Toisin sanoen todistaa näiden kahden määritellyn suuntauksen rinnakkaisuuden osoittamaan, että ne ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen suoran kanssa tai osoittamaan makaamisten kulmien ja jne. Monet tällaiset tehtävät ratkaistaan \u200b\u200bgeometrian oppitunnilla lukiossa. On kuitenkin huomattava, että monissa tapauksissa on kätevä käyttää koordinaattimenetelmää todistaakseen suoraan tasossa tai kolmiulotteisessa tilassa. Muodamme tarvittavat ja riittävät olosuhteet suoran, joka on määritelty suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Suoraan suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Artikkelin tässä kohdassa laaditaan tarvitaan ja riittävästi suoran rinnakkaisuuden olosuhteet Suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä riippuen näiden suoraan määrittävien yhtälöiden tyypistä ja antaa myös yksityiskohtaisia \u200b\u200bratkaisuja ominaistehtäviin.

Aloitamme kahdesta suoran tason rinnakkaisuudesta suorakulmaisessa oksi-koordinaattijärjestelmässä. Todistuksen perusteella on ohjausvektorin suoran määritelmä ja tavanomaisten vektorien määritelmä tasossa.

Lause.

Kahden epäjohdonmukaisen suoran viivojen rinnakkaisuutta varten on välttämätöntä ja tarpeeksi, että näiden linjojen ohjausvektorit olivat Collinar tai näiden suoraviivojen normaalit vektorit olivat Collinear tai yhden suoran johtaja oli kohtisuorassa normaaliin toisen suoran vektori.

Ilmeisesti kahden tasaisen linjan rinnakkaisuuden kunto pienenee (suorat tai normaalit vektorit suorat tai normaalit vektorit) tai K (ohjausvektori yhden suoran ja normaalin vektorin toisen rivin). Näin ollen, jos molemmat suorat A: n ja B: n suorat vektorit ja ja - suorat linjat A ja B normaalit vektorit, sitten suora A ja B yhdensuuntainen ja riittävä tila kirjataan tai , tai, missä T on jonkin verran voimassa oleva numero. Puolestaan \u200b\u200bohjatun ja (tai) suorien linjojen A ja B normaalin vektorin koordinaatit sijaitsevat suoraan tunnettujen yhtälöiden mukaisesti.

Erityisesti, jos suorakulmainen A suorakuoren koordinaattien suorakulmaisessa järjestelmässä asettaa suoran tyypin yleisen yhtälön ja suora B - Näiden suoristusten normaaleilla vektoreilla on koordinaatit ja vastaavasti, ja suora A ja B rinnakkaisuuden tila kirjataan nimellä.

Jos suora A vastaa tasapuolisen rivin yhtälön yhtälön kanssa lajin kulmakerroin ja suora B -, näiden suuntaviivojen normaaleilla vektoreilla on koordinaatit ja että näiden suoran rinnakkaisuuden kunto ottaa muodon . Siksi suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän tasainen taso on yhdensuuntainen ja se voidaan asettaa suoraan kulmikerroskertoimien kanssa, kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Ja takaisin: jos koordinaatti-suorat linjat on tasossa suorakulmaisen koordinaatiston voidaan yhtälöistä suoraan yhtä kulmikas kertoimet, niin tällaiset suorat ovat yhdensuuntaiset.

Jos suoraa A ja suora B suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä määrittelee kanoniset yhtälöt suoraan lajin tasoon ja tai parametriset yhtälöt suoraan lajin tasoon ja Näin ollen näiden suuntaviivojen ohjausvektoreilla on koordinaatit ja suora A: n ja B rinnakkaisuuden tila kirjataan nimellä.

Analysoimme useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Onko suorat linjat yhdensuuntaiset ja?

Päätös.

Olen kirjoittanut yhtälön uudelleen, on suora segmenttejä yleisen suoran yhtälön muodossa: . Nyt voidaan nähdä, että - normaali vektori suoraan , ja - normaali vektori suoraan. Nämä vektorit eivät ole Collinar, koska ei ole tällaista kelvollista numeroa T, jolle tasa-arvo on totta ( ). Tästä syystä tasoa varten ei ole suoritettu suoraa ja riittävästi rinnakkaisuutta, joten määritetyt suorat viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus:

Ei, suora ei ole yhdensuuntainen.

Esimerkki.

Ovat suorat ja rinnakkainen?

Päätös.

Annamme kanonisen yhtälön suoraan yhtälöön suoraan kulmakerroin :. On selvää, että suoran ja ei samat yhtälöt (tässä tapauksessa määritelty suorat viivat olisivat samansuuntaisia) ja suoran kulmakertoimet ovat yhtä suuret, siksi alkuperäiset suorat parallels.

Toinen tapa ratkaista.

Ensinnäkin näytämme, että lähde suorat viivat eivät vastaa: Ota mihinkään suoraan suoraan, esimerkiksi (0, 1), tämän kohdan koordinaatit eivät täytä yhtälöä suoraan, joten suorat viivat eivät ole samat. Tarkista nyt näiden suoran rinnakkaisuuden kunnon täyttäminen. Normaali vektori linja syö vektori, ja suora vektori suora syö vektori. Laske ja: . Näin ollen vektoreita ja kohtisuoraan, se tarkoittaa, että määritetyn suoran rinnakkaisuuden tarvittava ja riittävä edellytys suoritetaan. Siten suora rinnakkainen.

Vastaus:

Määritetyt suorat parallelit.

Todista suoraan suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään kolmiulotteisessa tilassa, käytä seuraavaa ja riittävää tilaa.

Lause.

Kolmiulotteisessa tilassa olevan häiritsevän suoran viivojen rinnakkaisuutta varten on välttämätöntä ja tarpeeksi niiden ohjausvektoreille olla Collinear.

Näin ollen, jos suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään suoraan tunnetaan kolmiulotteisessa tilassa ja sinun on vastattava näiden suoraan tai ei, niin sinun on löydettävä näiden suoran ohjausvektorin koordinaatit ja tarkistavat Ohjausvektoreiden kollektiivisuuden tila. Toisin sanoen, jos ja - Suorat vektorit määritellyillä suoroilla on koordinaatit ja. Kuten sitten. Näin ollen suoritetaan tarvittava ja riittävä tila kahden suoran avaruuden rinnakkaiselle. Tämä todistettu yhdensuuntaisuus suoraan ja .

Bibliografia.

Ataasyan L.S, ButUzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak esim. Yudina I.I. Geometria. 7 - 9 luokat: oppikirja yleisten koulutuslaitoksiin.
Ataasyan L.S, Buduzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak esim. Geometria. Oppaat 10-11 lukioluokalle.
Pogorelov A.v., Geometria. Opetusohjelma 7-11 yleisten koulutuslaitosten luokalle.
Bugrov YA.S., Nikolsky S.M. Korkeampi matematiikka. Äänenvoimakkuus: Lineaarisen algebran ja analyyttisen geometrian elementit.
Ilyin V.A., Poznyak esim. Analyyttinen geometria.

Tässä artikkelissa kerrotaan rinnakkaisesta suorasta, annamme määritelmät, merkitsemme rinnakkaisuuden merkkejä ja olosuhteita. Teoreettisen materiaalin selkeyden vuoksi käytämme tyypillisten esimerkkien kuvituksia ja ratkaisuja.

Määritelmä 1.

Rinnakkainen suoraan tasossa - Kaksi suoraa koneista, joilla ei ole yhteisiä kohtia.

Määritelmä 2.

Rinnakkainen suoraan kolmiulotteisessa tilassa - kaksi suoraa kolmiulotteisessa tilassa, joka makaa samalla tasolla ja niillä ei ole yhteisiä kohtia.

On tarpeen huomata, että rinnakkain suoraan avaruus, selvennys "samassa tasossa" on äärimmäisen tärkeä: kaksi suoraa viivaa kolmiulotteisessa tilassa, joilla ei ole yleisiä pisteitä eikä makaa samassa tasossa ei ole Rinnakkainen, mutta ylitys.

Suunnittelun suuntaisesti hyväksytty yksinkertaisesti hyväksytty symbolilla ∥. Ne., Jos määritetyt suorat linjat A ja B ovat yhdensuuntaisia, kirjoita tämä tila, kuten tämä: a ‖ b. Suoraan erinomaisesti rinnakkaisuus on merkitty seuraavasti: Suora A ja B ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200btai suorat ja yhdensuuntaiset suoraa B: ää tai suoraa B: ää yhdensuuntaisesti ohjata A.

Muodamme hyväksynnän, jolla on tärkeä rooli tutkituissa aiheissa.

Aksiomi

Pisteen kautta, joka ei kuulu määritettyyn suoraan, ainoa suora viiva, yhdensuuntainen määritetty. Tämä lausunto on mahdotonta todistaa kuuluisien planimetrien perusteella.

Siinä tapauksessa, kun kyseessä on avaruus, teorema on totta:

Teorem 1.

Kaikilla tilalla, joka ei kuulu määritettyyn suoraan suoraan suoraan, ainoa suora viiva, yhdensuuntainen määritetty.

Tämä teorema on yksinkertaisesti osoittautunut edellä mainitun aksiomin (Geometrian 10 - 11 luokan ohjelma) perusteella.

Rinnakkaisuuden merkki on riittävä tila, kun suoritetaan, mikä suoran viivojen rinnakkaisuus on taattu. Toisin sanoen tämän edellytyksen täyttyminen riittää vahvistamaan rinnakkaisjärjestelmän tosiasia.

Mukaan lukien tarvittavat ja riittävät olosuhteet tasaiselle tasolle ja avaruudessa. Selitä: välttämätöntä - se tarkoittaa, että ehto, jonka suorittaminen on välttämätöntä suoran linjojen rinnakkaisuuden kannalta; Jos sitä ei suoriteta - suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Yhteenveto, tarvittava ja riittävä edellytys suoralle - tällainen tila, jonka noudattaminen on välttämätöntä ja riittävästi suorat viivat ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200btoistensa kanssa. Toisaalta tämä on merkki rinnakkaisuudesta, toisaalta kiinteistö, joka on luontainen rinnakkain suoraan.

Ennen kuin annat tarkan sanamuodon tarvittavan ja riittävän tilan, muistamme lisää lisäkäsitteitä.

Määritelmä 3.

Laulaa suoraan - Suora, leikkaavat jokaisen näistä kahdesta määriteltyistä suoraviivaista suoraviivaista.

Kahden suoran ylittäminen, erottaa kahdeksan yhtenäistä kulmaa. Tarvittavan ja riittävän tilan muotoilemiseksi käytämme tällaisia \u200b\u200bkulmia kuin valehtelija, vastaava ja yksipuolinen. Osoitamme ne kuvassa:

Teorem 2.

Jos kaksi suoraa tasossa leikkaavat yksikön, sitten määritetyn suoran, se on välttämätöntä ja riittävää siten, että taustalla olevat kulmat voivat olla yhtä suuria tai yhtä suuria kuin vastaavat kulmat tai yksipuolisten kulmien summa oli 180 astetta.

Esitämme graafisesti välttämättömän ja riittävän kunnon rinnakkaisuuden suoraan koneella:

Näistä edellytyksistä on esitetty Geometrian ohjelmassa 7 - 9 luokkaa.

Yleensä näitä ehtoja sovelletaan kolmiulotteiseen tilaan huolimatta siitä, että kaksi suoraa ja secant kuuluvat samaan tasoon.

Osoitamme muutamia enemmän teoreita, joita käytetään usein todisteessa suorassa suhteessa.

Teorem 3.

Tasossa kaksi suoraa, yhdensuuntaisesti kolmannen, rinnakkain keskenään. Tämä ominaisuus on osoittautunut edellä mainitun rinnakkaisuuden aksiomin perusteella.

Teorem 4.

Kolmiulotteisessa tilassa kaksi suoraa, yhdensuuntaisesti kolmannen, rinnakkain keskenään.

Attribuutin todisteita tutkitaan luokan 10 geometrian ohjelmassa.

Otetaan esimerkki seuraavista teoreemista:

Ilmoitamme toisen parin teoreemat, jotka ovat todisteita suoran rinnakkaisuudesta.

Teorem 5.

Tasossa kaksi suoraa, kohtisuorassa kolmanneksi, rinnakkain keskenään.

Muodamme samanlaisen kolmiulotteisen tilan.

Teorem 6.

Kolmiulotteisessa tilassa kaksi suoraa, kohtisuorassa kolmanneksi, rinnakkain keskenään.

Kuvittelemme:

Kaikki edellä mainitut teoreet, ominaisuudet ja olosuhteet antavat meille mahdollisuuden muodostaa kätevästi suoran geometrian menetelmien rinnakkaisuuden. Ne, saadaan todisteet suoraan, voidaan osoittaa, että vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai osoittavat, että kaksi määritettyä suoraa kohtisuorasta kolmanneksi jne. Mutta huomaamme, että se on usein todisteita suoraan tasossa tai kolmiulotteisessa tilassa, on helpompaa käyttää koordinaattimenetelmää.

Suoraan suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä

Tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä suora viiva määritetään suoralla yhtälöllä yhden mahdollisen lajin tasossa. Joten suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä määritetty suora viiva kolmiulotteisessa tilassa vastaa joitain yhtälöitä suoraan avaruudessa.

Kirjoitamme tarvittavat ja riittävät olosuhteet suoraan suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään riippuen määritetyn suoraan kuvaavan yhtälön tyypistä riippuen.

Aloitetaan tasapuolisen tason rinnakkaisuuden kunnon mukaan. Se perustuu suoraan ja normaalin vektorin ohjausvektorin määritelmiin tasossa.

Teorem 7.

Jotta kaksi epäjohdonmukaista tasoa varten suorat viivat olivat yhdensuuntaisia, on välttämätöntä ja tarpeeksi, että määritettyjen suoran vektoreiden vektorit olivat kollinaarista tai oli tiettyjen suoran, tai yhden suoran linjan johtaja oli kohtisuorassa toisen suoran normaali vektori.

On ilmeistä, että tasapuolisen tason rinnakkaisuuden kunto perustuu vektoreiden kollektiivisuuden tilaan tai kahden vektorin kohtisuoraan. Ne., Jos A → \u003d (A X, A Y) ja B → \u003d (B X, B Y) ovat ohjausvektorit Direct A ja B;

ja Huom. → \u003d (NBX, NBY) ovat suorat A ja B normaalit vektorit, edellä mainittu tarvittava ja riittävä tila kirjoitat tämän: a → \u003d t · b → ⇔ ax \u003d t · bxay \u003d t · tai na → \u003d T · Huom. → ⇔ Nax \u003d t · nbxnay \u003d t · NBY tai A →, Huom. 0 → \u003d 0 ⇔ AX · NBX + AY · NBY \u003d 0, jossa T on jonkin verran voimassa oleva numero. Ohjeiden tai suoran vektoreiden koordinaatit määräytyvät määritetyillä suorat yhtälöt. Harkitse pääesimerkkejä.

Suora A suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä määräytyy yleisen yhtälön suoralla: 1 x + b 1 Y + C1 \u003d 0; Suora B - 2 x + b 2 Y + C 2 \u003d 0. Sitten määritetyn suoran normaaleilla vektoreilla on koordinaatit (A 1, 1) ja (A 2, B 2) vastaavasti. Rinnakkaisuuden kunto kirjoittaa tämän:

A 1 \u003d T · A 2 B 1 \u003d T · B 2

Suora A on kuvattu suora yhtälö, jossa on kulmakerroin muoto Y \u003d K 1 x + b 1. Suora B - Y \u003d K 2 x + B 2. Sitten määritetyn suoran normaaleilla vektoreilla on koordinaatit (K1, - 1) ja (K2, - 1) vastaavasti ja rinnakkaisuuden kunto kirjoittaa tämän:

k 1 \u003d t · k 2 - 1 \u003d t · (- 1) ⇔ k 1 \u003d t · k 2 t \u003d 1 ⇔ k 1 \u003d k 2

Näin ollen, jos rinnakkaiset suorat linjat tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä asetetaan yhtälöillä, joissa on kulmakertoimet, määritetyn suoran kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Ja päinvastainen lausunto on totta: jos suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä koordinaatistot suorat viivat määräytyvät suorilla yhtälöillä, joilla on samat kulmakertoimet, niin nämä määritetyt suorat ovat yhdensuuntaisia.

Suora A ja B suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä asettavat kanoniset yhtälöt suoraan tasoon: X - X 1 AX \u003d Y - Y 1 AY ja X - X 2 BX \u003d Y - Y 2 tai parametriset yhtälöt suoraan tasoon: X \u003d x 1 + λ · Axy \u003d Y 1 + λ · AY ja x \u003d x 2 + λ · bxy \u003d Y 2 + λ · by.

Sitten määritetyn suoran ohjausvektorit ovat: A x, y ja b x, b y, vastaavasti ja rinnakkaisuuden tila kirjoittaa tämän:

a x \u003d t · b x a y \u003d t · b y

Analysoimme esimerkkejä.

Esimerkki 1.

Kaksi suoraa viivaa annetaan: 2 x - 3 Y + 1 \u003d 0 ja X 1 2 + Y 5 \u003d 1. On tarpeen määrittää, ovatko ne rinnakkain.

Päätös

Kirjoitamme yhtälön suoraan segmentteihin yleisen yhtälön muodossa:

x 1 2 + Y 5 \u003d 1 ⇔ 2 x + 1 5 Y - 1 \u003d 0

Näemme, että na → \u003d (2, - 3) on suoraviivainen vektori 2 x - 3 y + 1 \u003d 0 ja nb → \u003d 2, 1 5 - normaali vektori suoraan X 1 2 + Y 5 \u003d 1 .

Saadut vektorit eivät ole Collinar, koska Tällaisia \u200b\u200barvoja ei ole, missä tasa-arvo on totta:

2 \u003d t · 2 - 3 \u003d t · 1 5 ⇔ t \u003d 1 - 3 \u003d t · 1 5 ⇔ t \u003d 1 - 3 \u003d 1 5

Siten ei suoriteta välittömän tason sovittamisen välttämätöntä ja riittävää tilaa, mikä tarkoittaa, että määritetyt suorat viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus: Määritetyt suorat viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Esimerkki 2.

Suorat viivat annetaan y \u003d 2 x + 1 ja x 1 \u003d y - 4 2. Ovatko ne rinnakkain?

Päätös

Muuntimme kanonisen yhtälön suoraan X1 \u003d Y - 4 2 yhtälöön suoraan kulmakerroin:

x 1 \u003d Y - 4 2 ⇔ 1 · (Y - 4) \u003d 2 x ⇔ Y \u003d 2 x + 4

Näemme, että suoran y \u003d 2 x + 1 ja y \u003d 2 x + 4 yhtälöt eivät ole samat (jos se olisi erilainen, suorat viivat olisivat samansuuntaisia) ja linjojen kulmakertoimet ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa Määritetyt suorat viivat ovat yhdensuuntaisia.

Yritetään ratkaista tehtävä muuten. Tarkista ensin, onko määritetyt suorat linjat samansuuntaiset. Käytämme mihin tahansa pisteeseen suoraan y \u003d 2 x + 1, esimerkiksi (0, 1), tämän pisteen koordinaatit eivät vastaa yhtälöä suoraa x 1 \u003d Y - 4 2, mikä tarkoittaa, että suora ei vastaa.

Seuraava vaihe on määrittää määritetyn suoran rinnakkaisuuden kunnon täyttäminen.

Normaali vektori suora Y \u003d 2 x + 1 on vektori N A → \u003d (2, - 1) ja toisen määritetyn suoran Vector-ohjain on B → \u003d (1, 2). Näiden vektoreiden skalaari tuote on nolla:

n a →, b → \u003d 2 · 1 + (- 1) · 2 \u003d 0

Näin ollen vektorit ovat kohtisuorassa: se osoittaa meidät suorittamaan tarvittavan ja riittävän tilan lähteen suoralle. Nuo. Määritetyt suorat parallelit.

Vastaus: Suorat tiedot ovat yhdensuuntaisia.

Todistamaan suoraan kolmiulotteisen tilan suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, käytetään seuraavaa ja riittävää tilaa.

Teorem 8.

Jotta kaksi epäjohdonmukaista suoraa linjaa kolmiulotteisessa tilassa on välttämätöntä ja tarpeeksi näiden suoraan johtajien vektoreille olla Collinear.

Nuo. Tiettyjen kolmiulotteisten tilojen välittömien yhtälöiden osalta vastaus kysymykseen: ne ovat rinnakkaisia \u200b\u200btai ei, se sijaitsee määrittämällä määritetyn suoran ohjausvektoreiden koordinaatit sekä testaamalla niiden olosuhteita Collineariteetti. Toisin sanoen, jos A → \u003d (AX, AY, AZ) ja B → \u003d (BX, BZ) ovat ohjausvektoreita suoraan A ja B, vastaavasti silloin, kun ne ovat yhdensuuntaisia, tällaisen voimassa olevan numeron t , Tasa-arvoa:

a → \u003d t · b → ⇔ a x \u003d t · b x a y \u003d t · b y a z \u003d t · b z

Esimerkki 3.

Ovat suorat linjat x 1 \u003d y - 2 0 \u003d z + 1 - 3 ja x \u003d 2 + 2 λ y \u003d 1 z \u003d - 3 - 6 λ. On tarpeen todistaa näiden suoran rinnakkaisuuden.

Päätös

Ongelman olosuhteet asettavat kanoniset yhtälöt yhdestä suoraa tilaa ja parametriset yhtälöt toisen suoran avaruudessa. Ohjausvektorit A → I. B → Määritetyillä suoroilla on koordinaatit: (1, 0, - 3) ja (2, 0, - 6).

1 \u003d t · 2 0 \u003d t · 0 - 3 \u003d t · - 6 ⇔ T \u003d 1 2, sitten A → \u003d 1 2 · b →.

Näin ollen suoritetaan välittömän avaruuden rinnakkaisuuden välttämätön ja riittävä tila.

Vastaus: Määritetyn suoran rinnakkaisuus osoittautuu.

Jos havaitset virheen tekstissä, valitse se ja paina Ctrl + Enter